1. Bài toán: Cho $p$ và $q$ là số nguyên tố, và $m^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, $m^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$. Hỏi có thể nhân hai biểu thức đồng dư này với nhau được không? 2. Công thức và quy tắc: Nếu $a \equiv b \pmod{m}$ và $c \equiv d \pmod{m}$ thì $ac \equiv bd \pmod{m}$. Tuy nhiên, ở đây ta có hai đồng dư với hai mod khác nhau là $p$ và $q$. 3. Nhân hai đồng dư: $$m^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ $$m^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$$ Nhân hai vế tương ứng: $$m^{p-1} \times m^{q-1} = m^{p-1+q-1} = m^{p+q-2}$$ 4. Tuy nhiên, ta không thể kết luận ngay: $$m^{p+q-2} \equiv 1 \pmod{pq}$$ vì đồng dư modulo $p$ và modulo $q$ không thể nhân trực tiếp để ra modulo $pq$ trừ khi $p$ và $q$ là nguyên tố cùng nhau (điều này đúng) và ta áp dụng định lý đồng dư Trung Hoa. 5. Áp dụng định lý đồng dư Trung Hoa: Vì $p$ và $q$ là số nguyên tố khác nhau nên $p$ và $q$ cùng nhau nguyên tố. Do đó, từ $$m^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ $$m^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$$ chúng ta có thể suy ra $$m^{k} \equiv 1 \pmod{pq}$$ với $k$ là bội chung nhỏ nhất của $p-1$ và $q-1$. 6. Kết luận: Không thể đơn giản nhân hai đồng dư để được đồng dư modulo $pq$ với số mũ là $p+q-2$. Thay vào đó, cần tìm bội chung nhỏ nhất của $p-1$ và $q-1$ để có đồng dư modulo $pq$. Vậy, nhân hai biểu thức đồng dư modulo $p$ và modulo $q$ không trực tiếp cho đồng dư modulo $pq$ với số mũ là tổng $p-1$ và $q-1$.