1. **بيان المسألة:** نريد إثبات أنه يمكن تمثيل أي مبلغ أكبر من 7 باستخدام قطع نقود معدنية من فئتي 3 و5. 2. **قاعدة الاستقراء:** نثبت صحة العلاقة للأعداد 8, 9, 10, 11, 12 كحالات أساسية: - $5 + 3 = 8$ - $5 + 5 = 10$ - $5 + 3 + 3 = 11$ - $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ 3. **فرضية الاستقراء:** نفترض أن أي عدد $n > 7$ يمكن كتابته على شكل $3x + 5y$ حيث $x,y$ أعداد صحيحة غير سالبة. 4. **خطوة الاستقراء:** نريد إثبات أن العدد التالي $n + 3$ يمكن كتابته أيضاً باستخدام 3 و5. 5. إذا كان $n = 3x + 5y$، فإن: $$n + 3 = 3x + 5y + 3 = 3(x + 1) + 5y$$ 6. هذا يعني أننا فقط أضفنا قطعة واحدة من فئة 3، وبالتالي العدد $n + 3$ يمكن تمثيله أيضاً. 7. بما أن $n > 7$، فإن $n + 3 > 10$، وهو ضمن الأعداد التي يمكن تمثيلها. 8. **الاستنتاج:** بما أن القاعدة صحيحة للأعداد الأساسية، وخطوة الاستقراء صحيحة، فإن أي مبلغ أكبر من 7 يمكن تمثيله باستخدام قطع نقود من فئتي 3 و5. **النتيجة النهائية:** أي مبلغ أكبر من 7 يمكن كتابته على شكل $3x + 5y$ حيث $x,y \geq 0$.