1. مسئله: محاسبه باقیمانده تقسیم $$(-6)^{23}$$ بر 33. 2. فرمول و قانون مهم: برای محاسبه باقیمانده تقسیم توان‌های بزرگ، از خواص حساب باقی‌مانده (حلقه‌های مدولار) استفاده می‌کنیم. 3. ابتدا توجه می‌کنیم که $$(-6)^{23} = (-1)^{23} \times 6^{23} = -6^{23}$$ چون $$(-1)^{23} = -1$$. 4. حال باید $$6^{23} \bmod 33$$ را محاسبه کنیم. 5. از آنجا که 33 = 3 \times 11، می‌توانیم از قضیه چینی باقی‌مانده استفاده کنیم: - محاسبه $$6^{23} \bmod 3$$ - محاسبه $$6^{23} \bmod 11$$ 6. محاسبه $$6^{23} \bmod 3$$: چون $$6 \equiv 0 \pmod{3}$$، پس $$6^{23} \equiv 0^{23} \equiv 0 \pmod{3}$$. 7. محاسبه $$6^{23} \bmod 11$$: - ابتدا $$6^1 \equiv 6 \pmod{11}$$ - $$6^2 = 36 \equiv 3 \pmod{11}$$ - $$6^3 = 6^2 \times 6 = 3 \times 6 = 18 \equiv 7 \pmod{11}$$ - $$6^4 = 7 \times 6 = 42 \equiv 9 \pmod{11}$$ - $$6^5 = 9 \times 6 = 54 \equiv 10 \pmod{11}$$ - $$6^6 = 10 \times 6 = 60 \equiv 5 \pmod{11}$$ - $$6^7 = 5 \times 6 = 30 \equiv 8 \pmod{11}$$ - $$6^8 = 8 \times 6 = 48 \equiv 4 \pmod{11}$$ - $$6^9 = 4 \times 6 = 24 \equiv 2 \pmod{11}$$ - $$6^{10} = 2 \times 6 = 12 \equiv 1 \pmod{11}$$ 8. چون $$6^{10} \equiv 1 \pmod{11}$$، دوره تناوب 10 است. 9. بنابراین $$6^{23} = 6^{10 \times 2 + 3} = (6^{10})^2 \times 6^3 \equiv 1^2 \times 7 = 7 \pmod{11}$$. 10. حال معادلات باقی‌مانده داریم: $$x \equiv 0 \pmod{3}$$ $$x \equiv 7 \pmod{11}$$ 11. حل معادله چینی باقی‌مانده: اعداد مضرب 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... عددی که $$\equiv 7 \pmod{11}$$ باشد و مضرب 3 باشد، 24 است چون $$24 \bmod 11 = 2$$ (نه 7)، پس ادامه می‌دهیم: 15 \bmod 11 = 4 21 \bmod 11 = 10 30 \bmod 11 = 8 33 \bmod 11 = 0 36 \bmod 11 = 3 39 \bmod 11 = 6 42 \bmod 11 = 9 45 \bmod 11 = 1 48 \bmod 11 = 4 51 \bmod 11 = 7 <-- این عدد مناسب است. 12. پس $$x = 51$$ جواب است. 13. اما به یاد داریم که $$(-6)^{23} = -6^{23}$$ پس باقیمانده نهایی: $$-51 \bmod 33 = 33 - (51 \bmod 33) = 33 - 18 = 15$$. 14. بنابراین باقیمانده تقسیم $$(-6)^{23}$$ بر 33 برابر است با $$15$$. **پاسخ نهایی:** $$15$$