1. সমস্যাটি হলো: সেট {2026, 2027, 2028, \cdots, 3026} থেকে এমন ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার জোড়া খুঁজে বের করতে হবে যাদের যোগ করার সময় কোন হাতের স্থানান্তর (carrying) হয় না। 2. সূত্র ও নিয়ম: দুই সংখ্যার যোগফল করার সময় হাতের স্থানান্তর হয় যদি কোন একটি স্থানীয় অংকের যোগফলে ১০ বা তার বেশি হয়। 3. এখানে আমরা ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার জোড়া বিবেচনা করব, অর্থাৎ (2026, 2027), (2027, 2028), ..., (3025, 3026)। মোট জোড়ার সংখ্যা হবে $3026 - 2026 = 1000$। 4. হাতের স্থানান্তর না হওয়ার জন্য প্রতিটি অংকের যোগফল ৯ বা তার কম হতে হবে। যেহেতু সংখ্যাগুলো ক্রমিক, অর্থাৎ পরপর সংখ্যা, তাই যোগফল হবে $n + (n+1) = 2n + 1$। 5. কিন্তু এখানে আমরা সংখ্যাগুলোর অংক অনুযায়ী যোগফল বিবেচনা করব। হাতের স্থানান্তর না হওয়ার জন্য, প্রতিটি অংকের যোগফল $< 10$ হতে হবে। অর্থাৎ, প্রতিটি অংকের $d_i$ এবং $d_i+1$ যোগফল $< 10$। 6. যেহেতু সংখ্যাগুলো ক্রমিক, পরের সংখ্যার প্রতিটি অংক আগের সংখ্যার অংকের থেকে ১ বেশি বা ০ হতে পারে (যদি ৯ থেকে ০ এ যায়)। 7. তাই, হাতের স্থানান্তর না হওয়ার শর্ত হলো সংখ্যার প্রতিটি অংক $9$ নয়। কারণ ৯ থেকে ০ এ গেলে হাতের স্থানান্তর হয়। 8. এখন, সংখ্যাগুলো ২০২৬ থেকে ৩০২৬ পর্যন্ত। আমরা দেখতে হবে কতগুলো সংখ্যা আছে যাদের শেষ তিন অংকে ৯ নেই। কারণ হাজারের অংক পরিবর্তন হলে হাতের স্থানান্তর হয় না (কারণ হাজারের অংক যোগফলে ১ হয়)। 9. শেষ তিন অংকে ৯ না থাকা মানে, সংখ্যার একক, দশক, শতক অংকগুলো ৯ নয়। 10. একক অংক ০ থেকে ৮ পর্যন্ত হতে পারে (৯ নয়), দশক অংক ০ থেকে ৮, শতক অংক ০ থেকে ৮। 11. তাই, শেষ তিন অংকের জন্য সম্ভাব্য সংখ্যা $9 \times 9 \times 9 = 729$। 12. হাজারের অংক ২ বা ৩ হতে পারে (২০২৬ থেকে ৩০২৬ পর্যন্ত)। 13. হাজারের অংক ২ হলে সংখ্যাগুলো ২০০০ থেকে 2999 পর্যন্ত, হাজারের অংক ৩ হলে 3000 থেকে 3026 পর্যন্ত। 14. ২০০০ থেকে 2999 পর্যন্ত শেষ তিন অংকের ৯ না থাকা সংখ্যা ৭২৯। 15. ৩০০০ থেকে ৩০২৬ পর্যন্ত শেষ তিন অংকের ৯ না থাকা সংখ্যা গুনতে হবে: - ৩০০০ থেকে ৩০২৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো: ৩০০০, ৩০০১, ..., ৩০২৬। - একক অংক ৯ নয়: ৩০০০ (0), ৩০০১ (1), ৩০০২ (2), ৩০০৩ (3), ৩০০৪ (4), ৩০০৫ (5), ৩০০৬ (6), ৩০০৭ (7), ৩০০৮ (8), ৩০০৯ (9) (৯ আছে, বাদ), ৩০১০ (0), ..., ৩০২৬ (6)। - ৩০০৯ বাদ দিতে হবে। - ৩০১৯, ৩০২৯ বাদ দিতে হবে কারণ একক অংক ৯। - ৩০২৯ নেই কারণ ৩০২৬ পর্যন্ত। - তাই ৩০০৯ বাদ। - মোট সংখ্যা ২৭ (৩০০০ থেকে ৩০২৬) - ১ (৩০০৯) = ২৬। 16. সুতরাং, মোট সংখ্যা যাদের শেষ তিন অংকে ৯ নেই = ৭২৯ + ২৬ = ৭৫৫। 17. এই সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যা যোগ করার সময় কোন হাতের স্থানান্তর হবে না। তাই, মোট ৭৫৫টি এমন ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার জোড়া আছে। **উত্তর: ৭৫৫**