1. نبدأ بقراءة المسألة: لدينا عدد طبيعي $N$ مكون من رقمين. 2. المعطيات: - عند قسمة $N$ على 9 يكون باقي القسمة 1، أي: $$N \equiv 1 \pmod{9}$$ - عند قسمة $N$ على 10 يكون باقي القسمة 3، أي: $$N \equiv 3 \pmod{10}$$ 3. المطلوب: إيجاد باقي قسمة $N$ على 11، أي إيجاد: $$N \bmod 11$$ 4. نعلم أن $N$ عدد مكون من رقمين، يمكن كتابته كالتالي: $$N = 10a + b$$ حيث $a$ هو الرقم الأول (العشرات) و $b$ هو الرقم الثاني (الآحاد). 5. من الشرط الثاني: $$N \equiv 3 \pmod{10} \Rightarrow b = 3$$ لأن باقي القسمة على 10 هو الرقم الأخير. 6. من الشرط الأول: $$N \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow 10a + 3 \equiv 1 \pmod{9}$$ 7. نستخدم خاصية الباقي: $$10a + 3 \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow 10a \equiv 1 - 3 \equiv -2 \equiv 7 \pmod{9}$$ 8. نعلم أن $10 \equiv 1 \pmod{9}$، إذن: $$10a \equiv a \pmod{9}$$ بالتالي: $$a \equiv 7 \pmod{9}$$ 9. بما أن $a$ رقم من 1 إلى 9 (رقم العشرات في عدد مكون من رقمين)، إذن: $$a = 7$$ 10. إذن العدد $N$ هو: $$N = 10 \times 7 + 3 = 73$$ 11. نوجد باقي قسمة $N$ على 11: $$73 \div 11 = 6 \text{ والباقي } 7$$ إذن: $$N \bmod 11 = 7$$ النتيجة النهائية: باقي قسمة $N$ على 11 هو 7.