Rest 5 14190C

1. **Enunțul problemei:** Avem un număr natural $n$ care, împărțit la $6$, $8$, $9$, $12$ și $16$, dă același rest $5$. 2. **Verificarea pentru $n=5$:** Împărțind $5$ la $6$, $8$, $9$, $12$ și $16$, restul este $5$ deoarece $5 < 6,8,9,12,16$. 3. **Condiția generală:** Dacă $n$ dă rest $5$ la împărțirea cu aceste numere, atunci $n-5$ este multiplu comun al lor: $$n - 5 = ext{cmmmc}(6,8,9,12,16) \times k$$ 4. **Calculul cmmmc:** Factorii primi sunt: - $6 = 2 \times 3$ - $8 = 2^3$ - $9 = 3^2$ - $12 = 2^2 \times 3$ - $16 = 2^4$ Cel mai mic multiplu comun este: $$\text{cmmmc} = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$$ 5. **Cel mai mic $n$ cu această proprietate:** Pentru $k=0$, avem: $$n - 5 = 144 \times 0 = 0 \Rightarrow n = 5$$ 6. **Concluzie:** $n=5$ este cel mai mic număr care, împărțit la $6$, $8$, $9$, $12$ și $16$, dă restul $5$. **Răspuns final:** $\boxed{5}$