1. Zadatak je da odredimo Njutnov interpolacioni polinom za funkciju zadatu tabelarno tačkama (1,1), (2,5), (3,17) i (5,89). 2. Njutnov interpolacioni polinom se gradi pomoću diferencijalnih količnika i ima oblik: $$P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \ldots$$ 3. Prvo izračunavamo diferencijalne količnike: - $f[x_0] = f(1) = 1$ - $f[x_1] = f(2) = 5$ - $f[x_2] = f(3) = 17$ - $f[x_3] = f(5) = 89$ 4. Prvi red diferencijalnih količnika: $$f[x_0,x_1] = \frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{5-1}{2-1} = 4$$ $$f[x_1,x_2] = \frac{17-5}{3-2} = 12$$ $$f[x_2,x_3] = \frac{89-17}{5-3} = 36$$ 5. Drugi red diferencijalnih količnika: $$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{12-4}{3-1} = \frac{8}{2} = 4$$ $$f[x_1,x_2,x_3] = \frac{36-12}{5-2} = \frac{24}{3} = 8$$ 6. Treći red diferencijalnih količnika: $$f[x_0,x_1,x_2,x_3] = \frac{f[x_1,x_2,x_3] - f[x_0,x_1,x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{8-4}{5-1} = \frac{4}{4} = 1$$ 7. Sada sastavljamo Njutnov polinom: $$P(x) = 1 + 4(x-1) + 4(x-1)(x-2) + 1(x-1)(x-2)(x-3)$$ 8. Polinom možemo i razviti za proveru: Prvo razvijamo drugi stepen: $4(x-1)(x-2) = 4(x^2 - 3x + 2) = 4x^2 - 12x + 8$ Zatim treći stepen: $(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x - x^2 + 5x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ Pomnoženo sa 1 ostaje isto. Sada sabiramo sve: $$P(x) = 1 + 4(x-1) + 4x^2 - 12x + 8 + x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$ $$= 1 + 4x - 4 + 4x^2 - 12x + 8 + x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$ Saberemo slične članove: $$x^3 + (4x^2 - 6x^2) + (4x - 12x + 11x) + (1 - 4 + 8 - 6)$$ $$= x^3 - 2x^2 + 3x - 1$$ 9. Konačni Njutnov interpolacioni polinom je: $$\boxed{P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1}$$ Ovaj polinom prolazi kroz sve zadate tačke.