1. Zadatak je da odredimo Njutnov interpolacioni polinom za funkciju zadatu tabelarno tačkama (1,1), (2,5), (3,17) i (5,89). 2. Njutnov interpolacioni polinom koristi formulu: $$P_n(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \dots + f[x_0,\dots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$$ 3. Prvo izračunavamo diferencijske količnike (razlike): $f[x_0] = f(1) = 1$ $f[x_0,x_1] = \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{5-1}{1} = 4$ $f[x_1,x_2] = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{17-5}{1} = 12$ $f[x_2,x_3] = \frac{f(5)-f(3)}{5-3} = \frac{89-17}{2} = 36$ 4. Sledeće, računamo drugu diferencijsku razliku: $f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{3-1} = \frac{12-4}{2} = 4$ $f[x_1,x_2,x_3] = \frac{f[x_2,x_3] - f[x_1,x_2]}{5-2} = \frac{36-12}{3} = 8$ 5. Treća diferencijska razlika: $f[x_0,x_1,x_2,x_3] = \frac{f[x_1,x_2,x_3] - f[x_0,x_1,x_2]}{5-1} = \frac{8-4}{4} = 1$ 6. Sada sastavljamo interpolacioni polinom: $$P_3(x) = 1 + 4(x-1) + 4(x-1)(x-2) + 1(x-1)(x-2)(x-3)$$ 7. Polinom možemo i proširiti za proveru: Prvo, $4(x-1)(x-2) = 4(x^2 - 3x + 2) = 4x^2 - 12x + 8$ Zatim, $(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ Dakle, $$P_3(x) = 1 + 4(x-1) + 4x^2 - 12x + 8 + x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$ Saberemo slične članove: Konstante: $1 - 4 + 8 - 6 = -1$ $x$-članovi: $4x - 12x + 11x = 3x$ $x^2$-članovi: $4x^2 - 6x^2 = -2x^2$ $x^3$-član: $x^3$ Dakle, $$P_3(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$$ 8. Ovo je Njutnov interpolacioni polinom koji prolazi kroz zadate tačke.