1. **Énoncé du problème :** Nous avons une méthode de Runge–Kutta définie par le tableau de Butcher donné. Il faut décrire les méthodes intermédiaires (M_2) et (M_3), déterminer leur ordre de précision, écrire l'algorithme de la méthode globale (M), et vérifier si cette méthode est au moins d'ordre 2. 2. **Rappel sur les méthodes de Runge–Kutta :** Une méthode de Runge–Kutta à s étapes est définie par un tableau de Butcher avec coefficients $c_i$, $a_{ij}$, et $b_i$. Les méthodes intermédiaires $(M_i)$ correspondent aux quadratures partielles utilisant les premiers $i$ coefficients. 3. **Description des méthodes intermédiaires :** - $(M_2)$ utilise les deux premières lignes et les poids correspondants : $$c = \begin{pmatrix}0 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} \end{pmatrix}$$ - $(M_3)$ utilise les trois lignes et poids complets : $$c = \begin{pmatrix}0 \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} \\ \frac{3}{8} \end{pmatrix}$$ 4. **Ordre de précision des méthodes intermédiaires :** L'ordre d'une méthode de quadrature est déterminé par la précision avec laquelle elle intègre les polynômes. - Pour $(M_2)$, on vérifie les conditions de quadrature de degré 1 et 2. Le poids total est $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \neq 1$, donc $(M_2)$ n'est pas d'ordre 2, mais d'ordre 1. - Pour $(M_3)$, la somme des poids est $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = 1$, et les conditions de moments sont satisfaites jusqu'à l'ordre 2, donc $(M_3)$ est d'ordre 2. 5. **Algorithme de la méthode globale $(M)$ :** Soit $y_n$ l'approximation à $t_n$, $h$ le pas, et $f$ la fonction dérivée. 1. Calculer $k_1 = f(t_n, y_n)$ 2. Calculer $k_2 = f\left(t_n + \frac{2}{3}h, y_n + h \frac{2}{3} k_1\right)$ 3. Calculer $k_3 = f\left(t_n + \frac{2}{3}h, y_n + h \frac{2}{3} k_2\right)$ 4. Mettre à jour $y_{n+1} = y_n + h \left( \frac{1}{4} k_1 + \frac{3}{8} k_2 + \frac{3}{8} k_3 \right)$ 6. **Vérification de l'ordre de la méthode globale :** Pour vérifier si la méthode est au moins d'ordre 2, on vérifie les conditions classiques : - $\sum b_i = 1$ (vrai ici) - $\sum b_i c_i = \frac{1}{2}$ Calculons : $$\frac{1}{4} \times 0 + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = 0 + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = 2 \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$ Cette condition est satisfaite, donc la méthode est au moins d'ordre 2. **Réponse finale :** - $(M_2)$ est d'ordre 1 - $(M_3)$ est d'ordre 2 - La méthode globale $(M)$ est d'ordre au moins 2