1. **Énoncé du problème :** Nous avons une méthode de Runge–Kutta définie par le tableau de Butcher donné. Il faut décrire les méthodes intermédiaires (M_2) et (M_3), déterminer leur ordre, écrire l'algorithme complet de la méthode globale (M), et vérifier si cette méthode est au moins d'ordre 2. 2. **Présentation du tableau de Butcher :** $$\begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & & \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & & \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & \\ \hline & \frac{1}{4} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \end{array}$$ 3. **Description des méthodes intermédiaires (M_2) et (M_3) :** - (M_2) correspond à la méthode de quadrature utilisant les deux premiers points (c_1=0, c_2=2/3) avec poids $b_1=\frac{1}{4}$ et $b_2=\frac{3}{8}$. - (M_3) correspond à la méthode utilisant les trois points (c_1=0, c_2=2/3, c_3=2/3) avec poids $b_1=\frac{1}{4}$, $b_2=\frac{3}{8}$, $b_3=\frac{3}{8}$. 4. **Ordre de précision des méthodes intermédiaires :** - Pour (M_2), la quadrature est : $$\int_0^{1} f(t) dt \approx \frac{1}{4} f(0) + \frac{3}{8} f\left(\frac{2}{3}\right)$$ Cette méthode est une quadrature à deux points non standard. En testant les polynômes de degré 0 et 1, on trouve que l'ordre est 1 (car elle n'intègre pas exactement les polynômes de degré 1). - Pour (M_3), la quadrature est : $$\int_0^{1} f(t) dt \approx \frac{1}{4} f(0) + \frac{3}{8} f\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{3}{8} f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{4} f(0) + \frac{3}{4} f\left(\frac{2}{3}\right)$$ C'est une quadrature à deux points effectifs avec poids total 1. En testant les polynômes, on trouve que l'ordre est 1 également. 5. **Algorithme de la méthode de Runge–Kutta (M) :** Soit $y_n$ l'approximation à $t_n$, et $h$ le pas. Calcul des étapes intermédiaires : $$k_1 = f(t_n, y_n)$$ $$k_2 = f\left(t_n + \frac{2}{3}h, y_n + h \frac{2}{3} k_1\right)$$ $$k_3 = f\left(t_n + \frac{2}{3}h, y_n + h \frac{2}{3} k_2\right)$$ Mise à jour : $$y_{n+1} = y_n + h \left( \frac{1}{4} k_1 + \frac{3}{8} k_2 + \frac{3}{8} k_3 \right)$$ 6. **Vérification de l'ordre de la méthode globale :** Pour vérifier si la méthode est au moins d'ordre 2, on utilise les conditions classiques de Runge–Kutta : - $\sum b_i = 1$ : ici $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = 1$ ✔ - $\sum b_i c_i = \frac{1}{2}$ : calculons $$\frac{1}{4} \times 0 + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = 2 \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$ ✔ Ces conditions suffisent pour que la méthode soit d'ordre au moins 2. **Réponse finale :** - (M_2) et (M_3) sont des méthodes de quadrature d'ordre 1. - L'algorithme complet est donné ci-dessus. - La méthode globale (M) est d'ordre au moins 2.