1. **Problem Statement:** Jelaskan apa yang dimaksud dengan metode eliminasi dan metode iterasi pada masalah sistem persamaan numerik. 2. **Metode Eliminasi:** Metode eliminasi adalah teknik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghilangkan variabel secara bertahap sehingga diperoleh persamaan yang lebih sederhana. 3. **Metode Iterasi:** Metode iterasi adalah teknik yang menggunakan pendekatan berulang untuk mendekati solusi sistem persamaan, seperti metode Jacobi atau Gauss-Seidel. 4. **Problem Statement:** Diberikan sistem persamaan linear (SPL): $$\begin{cases} 3x - y + z = 5 \\ x + 4y + 2z = 6 \\ 2x - y + 5z = 7 \end{cases}$$ 5. **a. Konvergensi:** Untuk metode Gauss-Seidel, SPL dikatakan konvergen jika matriks koefisiennya dominan diagonal atau memenuhi kriteria tertentu. 6. Matriks koefisien: $$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$$ 7. Cek dominasi diagonal: - Baris 1: $|3| > |-1| + |1| \Rightarrow 3 > 2$ (benar) - Baris 2: $|4| > |1| + |2| \Rightarrow 4 > 3$ (benar) - Baris 3: $|5| > |2| + |-1| \Rightarrow 5 > 3$ (benar) 8. Karena semua baris dominan diagonal, maka SPL ini konvergen untuk metode Gauss-Seidel. 9. **b. Iterasi Gauss-Seidel:** Bentuk persamaan iterasi: $$x^{(k+1)} = \frac{1}{3}(5 + y^{(k)} - z^{(k)})$$ $$y^{(k+1)} = \frac{1}{4}(6 - x^{(k+1)} - 2z^{(k)})$$ $$z^{(k+1)} = \frac{1}{5}(7 - 2x^{(k+1)} + y^{(k+1)})$$ 10. Inisialisasi: $x^{(0)}=0, y^{(0)}=0, z^{(0)}=0$ 11. Iterasi 1: $$x^{(1)} = \frac{1}{3}(5 + 0 - 0) = \frac{5}{3} = 1.6667$$ $$y^{(1)} = \frac{1}{4}(6 - 1.6667 - 0) = \frac{4.3333}{4} = 1.0833$$ $$z^{(1)} = \frac{1}{5}(7 - 2(1.6667) + 1.0833) = \frac{7 - 3.3334 + 1.0833}{5} = \frac{4.7499}{5} = 0.95$$ 12. Iterasi 2: $$x^{(2)} = \frac{1}{3}(5 + 1.0833 - 0.95) = \frac{5.1333}{3} = 1.7111$$ $$y^{(2)} = \frac{1}{4}(6 - 1.7111 - 2(0.95)) = \frac{6 - 1.7111 - 1.9}{4} = \frac{2.3889}{4} = 0.5972$$ $$z^{(2)} = \frac{1}{5}(7 - 2(1.7111) + 0.5972) = \frac{7 - 3.4222 + 0.5972}{5} = \frac{4.175}{5} = 0.835$$ 13. Iterasi 3: $$x^{(3)} = \frac{1}{3}(5 + 0.5972 - 0.835) = \frac{4.7622}{3} = 1.5874$$ $$y^{(3)} = \frac{1}{4}(6 - 1.5874 - 2(0.835)) = \frac{6 - 1.5874 - 1.67}{4} = \frac{2.7426}{4} = 0.6857$$ $$z^{(3)} = \frac{1}{5}(7 - 2(1.5874) + 0.6857) = \frac{7 - 3.1748 + 0.6857}{5} = \frac{4.5109}{5} = 0.9022$$ 14. **Galat:** Galat dapat dihitung sebagai selisih nilai iterasi berturut-turut, misal untuk $x$: $$|x^{(3)} - x^{(2)}| = |1.5874 - 1.7111| = 0.1237$$ 15. Kesimpulan: SPL konvergen dan iterasi Gauss-Seidel memberikan solusi mendekati dengan iterasi bertahap.