1. **بيان المشكلة:** نريد تعظيم الدالة الهدف $$Z = 2x_1 + x_2$$ مع القيود: $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 \leq 10 \\ x_1 \leq 5 \\ 3x_1 + 4x_2 \leq 24 \\ x_1 \geq 0 \\ x_2 \geq 0 \end{cases}$$ 2. **الطريقة البيانية:** - نرسم كل قيد كخط مستقيم بتحويل المتباينة إلى معادلة: - $x_1 + 2x_2 = 10$ - $x_1 = 5$ - $3x_1 + 4x_2 = 24$ - نحدد منطقة الحل الممكنة (المنطقة التي تحقق جميع القيود). 3. **إيجاد نقاط تقاطع القيود:** - تقاطع $x_1 + 2x_2 = 10$ و $x_1 = 5$: - نعوض $x_1=5$ في الأول: $$5 + 2x_2 = 10 \Rightarrow 2x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$$ - النقطة: $(5, 2.5)$ - تقاطع $x_1 + 2x_2 = 10$ و $3x_1 + 4x_2 = 24$: - من الأول: $x_1 = 10 - 2x_2$ - نعوض في الثاني: $$3(10 - 2x_2) + 4x_2 = 24$$ $$30 - 6x_2 + 4x_2 = 24$$ $$30 - 2x_2 = 24$$ $$-2x_2 = -6 \Rightarrow x_2 = 3$$ - إذن $x_1 = 10 - 2(3) = 10 - 6 = 4$ - النقطة: $(4, 3)$ - تقاطع $x_1 = 5$ و $3x_1 + 4x_2 = 24$: - نعوض $x_1=5$ في الثاني: $$3(5) + 4x_2 = 24$$ $$15 + 4x_2 = 24$$ $$4x_2 = 9 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$$ - النقطة: $(5, 2.25)$ 4. **نقاط الزوايا في منطقة الحل الممكنة (مع مراعاة $x_1, x_2 \geq 0$):** - $(0,0)$ - تقاطع $x_1 + 2x_2 = 10$ مع $x_2=0$: $$x_1 = 10$$ لكن $x_1 \leq 5$، إذن الحد هو $x_1=5$ عند $x_2=0$ - تقاطع $x_1=0$ مع $3x_1 + 4x_2 = 24$: $$4x_2 = 24 \Rightarrow x_2 = 6$$ - إذن نقاط الزوايا: - $(0,0)$ - $(5,0)$ - $(5, 2.25)$ - $(4,3)$ - $(0,5)$ (من $x_1 + 2x_2 = 10$ عند $x_1=0$) 5. **حساب قيمة الدالة الهدف عند كل نقطة:** - عند $(0,0)$: $Z=2(0)+0=0$ - عند $(5,0)$: $Z=2(5)+0=10$ - عند $(5,2.25)$: $Z=2(5)+2.25=10+2.25=12.25$ - عند $(4,3)$: $Z=2(4)+3=8+3=11$ - عند $(0,5)$: $Z=2(0)+5=5$ 6. **النتيجة البيانية:** - القيمة العظمى هي $Z=12.25$ عند النقطة $(5, 2.25)$. --- 7. **حل البرنامج الخطي بطريقة السيمبلكس:** - نكتب البرنامج في الصيغة القياسية بإضافة متغيرات فائض: $$\max Z = 2x_1 + x_2$$ مع القيود: $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + s_1 = 10 \\ x_1 + s_2 = 5 \\ 3x_1 + 4x_2 + s_3 = 24 \\ x_1, x_2, s_1, s_2, s_3 \geq 0 \end{cases}$$ - نبدأ بجدول السيمبلكس الأولي حيث المتغيرات الأساسية هي $s_1, s_2, s_3$. - نحسب معاملات $Z$ في الصف الأخير: $$Z - 2x_1 - x_2 = 0$$ - نختار المتغير الذي يدخل القاعدة (أكبر معامل سالب في صف $Z$): $x_1$ (معامل -2) - نحسب نسب القيد لاختيار المتغير الخارج: $$\frac{10}{1} = 10, \quad \frac{5}{1} = 5, \quad \frac{24}{3} = 8$$ - أصغر نسبة هي 5، إذن $s_2$ يخرج و $x_1$ يدخل. - نحدث الجدول ونكرر العملية حتى لا يبقى معاملات سالبة في صف $Z$. - بعد الخطوات، الحل الأمثل هو: $$x_1 = 5, \quad x_2 = 2.25, \quad Z = 12.25$$ **النتيجة النهائية:** $$\boxed{\max Z = 12.25 \text{ عند } (x_1, x_2) = (5, 2.25)}$$