1. Masalah: Menentukan bentuk dan ukuran kemasan (dalam cm) untuk Paket 90 agar luas permukaan dan biaya seminimal mungkin. 2. Rumus luas permukaan balok: $$L = 2(lw + lh + wh)$$ dengan $l$, $w$, dan $h$ adalah panjang, lebar, dan tinggi kemasan. 3. Karena volume paket adalah 90 cm³, maka $$V = lwh = 90$$. 4. Tujuan: Minimalkan luas permukaan $L$ dengan kendala volume $V=90$. 5. Strategi: Gunakan metode substitusi atau kalkulus untuk mencari nilai $l$, $w$, dan $h$ yang meminimalkan $L$. 6. Misal $h = \frac{90}{lw}$, maka $$L = 2(lw + l\frac{90}{lw} + w\frac{90}{lw}) = 2(lw + \frac{90}{w} + \frac{90}{l})$$ 7. Untuk meminimalkan $L$, turunkan $L$ terhadap $l$ dan $w$, set turunan sama dengan nol, dan selesaikan sistem persamaan: $$\frac{\partial L}{\partial l} = 2\left(w - \frac{90}{l^2}\right) = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial w} = 2\left(l - \frac{90}{w^2}\right) = 0$$ 8. Dari persamaan pertama: $$w = \frac{90}{l^2}$$ Dari persamaan kedua: $$l = \frac{90}{w^2}$$ 9. Substitusi $w$ ke persamaan kedua: $$l = \frac{90}{\left(\frac{90}{l^2}\right)^2} = \frac{90}{\frac{8100}{l^4}} = \frac{90 l^4}{8100} = \frac{l^4}{90}$$ 10. Sehingga: $$l = \frac{l^4}{90} \Rightarrow l^4 - 90 l = 0 \Rightarrow l(l^3 - 90) = 0$$ 11. Solusi positif: $$l^3 = 90 \Rightarrow l = \sqrt[3]{90} \approx 4.481$$ 12. Hitung $w$: $$w = \frac{90}{l^2} = \frac{90}{(4.481)^2} \approx \frac{90}{20.08} \approx 4.48$$ 13. Hitung $h$: $$h = \frac{90}{lw} = \frac{90}{4.481 \times 4.48} \approx \frac{90}{20.08} \approx 4.48$$ 14. Jadi, kemasan berbentuk kubus dengan sisi sekitar 4.48 cm memberikan luas permukaan dan biaya minimal. 15. Biaya dihitung berdasarkan luas permukaan: $$L = 2(lw + lh + wh) = 2(4.48 \times 4.48 + 4.48 \times 4.48 + 4.48 \times 4.48) = 2(20.08 + 20.08 + 20.08) = 2 \times 60.24 = 120.48 \text{ cm}^2$$ 16. Jika biaya per cm² adalah $c$, maka biaya total: $$\text{Biaya} = c \times 120.48$$ --- 17. Strategi umum (poin d): - Gunakan rumus volume dan luas permukaan. - Gunakan kalkulus untuk meminimalkan luas permukaan dengan kendala volume. - Strategi ini menghasilkan kemasan paling efisien karena meminimalkan bahan yang digunakan (luas permukaan) untuk volume tertentu. --- 18. Prinsip efisiensi kemasan (poin e): - Prinsip ini dapat diterapkan pada bentuk lain selain kubus, seperti silinder atau prisma. - Dengan menggunakan kalkulus dan kendala volume, kita dapat menemukan dimensi optimal yang meminimalkan luas permukaan. - Namun, bentuk optimal bisa berbeda tergantung bentuk dasar kemasan.