1. **Énoncé du problème :** Nous devons vérifier si la deuxième table (Tab 2) de la méthode du simplexe est correcte à partir de la première table (Tab 1) donnée. 2. **Rappel de la méthode du simplexe :** - On choisit une variable entrante (colonne avec le coefficient le plus positif dans la ligne -Z). - On calcule les rapports $\frac{R}{\text{coefficient de la variable entrante}}$ pour déterminer la variable sortante. - On effectue un pivot pour mettre la variable entrante dans la base. 3. **Analyse de Tab 1 :** - La ligne -Z a les coefficients $390$ (x), $420$ (y), $440$ (z). - La variable entrante est donc $z$ car $440$ est le plus grand. - Calcul des rapports pour $z$ : - $e1$: coefficient de $z$ est $0$ (non positif, on ignore) - $e2$: coefficient de $z$ est $0$ (non positif, on ignore) - $e3$: coefficient de $z$ est $2$, $\frac{200}{2} = 100$ - $e4$: coefficient de $z$ est $1$, $\frac{300}{1} = 300$ - La variable sortante est $e3$ car $100$ est le plus petit ratio positif. 4. **Pivot sur la colonne $z$ et la ligne $e3$ :** - On divise la ligne $e3$ par $2$ (coefficient de $z$) : $$ e3 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + z + 0e1 + 0e2 + \frac{1}{2}e3 + 0e4 = 100 $$ - On met à jour les autres lignes pour annuler la colonne $z$ : - Ligne $e4$ : $$ e4 - 1 \times e3 = (2x + y + z + e4) - (x + y + z + e3) = (2x - x) + (y - y) + (z - z) + (e4 - e3) = x + 0 + 0 + (e4 - e3) $$ Valeur de $R$ : $300 - 200 = 100$ (mais Tab 2 indique 200, donc à vérifier) - Ligne $e1$ et $e2$ restent inchangées car coefficient de $z$ est 0. - Ligne -Z : $$ -Z - 440 \times e3 = (390x + 420y + 440z) - 440(x + y + 2z + e3) $$ Simplification : $$ -Z = 390x + 420y + 440z - 440x - 440y - 880z - 440e3 = (-50x) + (-20y) - 440e3 $$ Ce qui ne correspond pas à Tab 2. 5. **Conclusion :** - La variable entrante et sortante sont correctes. - La ligne pivot est correcte dans Tab 2. - Cependant, les coefficients dans la ligne $e4$ et la ligne -Z ne correspondent pas aux calculs attendus. - Par exemple, $R$ dans $e4$ devrait être $100$ mais Tab 2 indique $200$. - La ligne -Z dans Tab 2 a des coefficients positifs pour $x$ et $y$, ce qui ne correspond pas à la soustraction attendue. **Donc, la Tab 2 n'est pas correcte selon la méthode du simplexe appliquée à Tab 1.**