1. **Énoncé du problème 7.3** : On veut clôturer un pâturage rectangulaire de superficie 1 km², bordé par une route sur un côté. Le coût de clôture le long de la route est 500 par km, et 300 par km pour les autres côtés. On cherche les dimensions minimisant le coût total. 2. **Formules et règles importantes** : Soit $x$ la longueur du côté le long de la route (en km), et $y$ la largeur. La superficie est $xy=1$. Le coût total est $C = 500x + 300(2y)$ car il y a un côté le long de la route et deux côtés de largeur. 3. **Travail intermédiaire** : Exprimer $y$ en fonction de $x$ : $$y = \frac{1}{x}$$ Substituer dans $C$ : $$C = 500x + 600 \times \frac{1}{x} = 500x + \frac{600}{x}$$ 4. **Trouver le minimum** : Calculer la dérivée de $C$ par rapport à $x$ : $$C' = 500 - \frac{600}{x^2}$$ Poser $C' = 0$ pour trouver les points critiques : $$500 - \frac{600}{x^2} = 0 \Rightarrow 500 = \frac{600}{x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{600}{500} = 1.2$$ Donc $$x = \sqrt{1.2} \approx 1.095$$ 5. **Vérification du minimum** : La dérivée seconde : $$C'' = \frac{1200}{x^3} > 0$$ pour $x>0$, donc minimum. 6. **Calcul de $y$** : $$y = \frac{1}{x} = \frac{1}{1.095} \approx 0.913$$ 7. **Réponse finale** : Les dimensions minimisant le coût sont environ $$x \approx 1.095 \text{ km}, \quad y \approx 0.913 \text{ km}$$ --- 1. **Énoncé du problème 7.4** : Triangle rectangle $OAB$ dans le premier quadrant, $B$ sur la courbe $y=\sqrt{9-x}$. On cherche les coordonnées de $A$ pour maximiser l'aire du triangle. 2. **Formules et règles importantes** : Le triangle a pour sommets $O(0,0)$, $A(a,0)$ sur l'axe des abscisses, et $B(b,y_b)$ sur la courbe. Le point $B$ est $(b, \sqrt{9-b})$. L'aire du triangle rectangle est $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times a \times y_b$$ 3. **Relation entre $a$ et $b$** : Puisque $A$ est sur l'axe des abscisses et $B$ est au-dessus de $A$, on a $a = b$. Donc $$\text{Aire} = \frac{1}{2} a \sqrt{9 - a}$$ 4. **Maximiser l'aire** : Posons $$f(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{9 - a}$$ Calculons la dérivée : $$f'(a) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{9 - a} + a \times \frac{-1}{2 \sqrt{9 - a}} \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{9 - a} - \frac{a}{2 \sqrt{9 - a}} \right)$$ 5. **Simplification** : Mettons au même dénominateur : $$f'(a) = \frac{1}{2} \times \frac{2(9 - a) - a}{2 \sqrt{9 - a}} = \frac{1}{2} \times \frac{18 - 2a - a}{2 \sqrt{9 - a}} = \frac{1}{2} \times \frac{18 - 3a}{2 \sqrt{9 - a}}$$ 6. **Trouver les points critiques** : Posons $f'(a) = 0$ : $$18 - 3a = 0 \Rightarrow a = 6$$ 7. **Vérification du maximum** : Pour $a$ proche de 0, $f'(a) > 0$, pour $a > 6$, $f'(a) < 0$, donc $a=6$ est un maximum. 8. **Coordonnées finales** : $$A = (6,0), \quad B = (6, \sqrt{9-6}) = (6, \sqrt{3})$$ --- 1. **Énoncé du problème 7.5** : Parabole de sommet $S(0,4)$, on cherche un rectangle inscrit de surface maximale. La parabole est symétrique, d'équation $$y = 4 - \frac{4}{9} x^2$$ avec $x$ entre $-3$ et $3$. 2. **Formules et règles importantes** : Le rectangle est centré sur l'axe des ordonnées, donc ses sommets sont $(-x,y)$ et $(x,y)$. L'aire est $$A = 2x \times y = 2x \left(4 - \frac{4}{9} x^2 \right) = 8x - \frac{8}{9} x^3$$ 3. **Maximiser l'aire** : Calculons la dérivée : $$A' = 8 - \frac{24}{9} x^2 = 8 - \frac{8}{3} x^2$$ 4. **Trouver les points critiques** : Posons $A' = 0$ : $$8 - \frac{8}{3} x^2 = 0 \Rightarrow \frac{8}{3} x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 3$$ Donc $$x = \sqrt{3}$$ 5. **Vérification du maximum** : La dérivée seconde : $$A'' = - \frac{16}{3} x$$ Pour $x = \sqrt{3} > 0$, $A'' < 0$, donc maximum. 6. **Calcul de $y$** : $$y = 4 - \frac{4}{9} (\sqrt{3})^2 = 4 - \frac{4}{9} \times 3 = 4 - \frac{12}{9} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$ 7. **Réponse finale** : Les dimensions du rectangle sont $$\text{largeur} = 2x = 2 \sqrt{3}$$ $$\text{hauteur} = y = \frac{8}{3}$$