1. **Énoncé du problème** : On a une plaque rectangulaire de dimensions 22 cm par 18 cm. On enlève un carré de côté $x$ cm à chaque coin, puis on replie les côtés pour former une boîte sans couvercle. On cherche la valeur de $x$ qui maximise le volume de cette boîte. 2. **Formule du volume** : Le volume $V$ de la boîte est donné par : $$V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$$ Ici, la hauteur est $x$, la longueur devient $22 - 2x$ (car on enlève $x$ à chaque extrémité), et la largeur devient $18 - 2x$. Donc : $$V(x) = x (22 - 2x)(18 - 2x)$$ 3. **Développement de l'expression** : Développons $(22 - 2x)(18 - 2x)$ : $$= 22 \times 18 - 22 \times 2x - 2x \times 18 + 4x^2 = 396 - 44x - 36x + 4x^2 = 396 - 80x + 4x^2$$ Donc : $$V(x) = x (396 - 80x + 4x^2) = 396x - 80x^2 + 4x^3$$ 4. **Trouver le maximum du volume** : On dérive $V(x)$ par rapport à $x$ : $$V'(x) = 396 - 160x + 12x^2$$ Pour trouver les points critiques, on résout : $$V'(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 160x + 396 = 0$$ Divisons par 4 pour simplifier : $$3x^2 - 40x + 99 = 0$$ 5. **Résolution de l'équation quadratique** : Le discriminant est : $$\Delta = (-40)^2 - 4 \times 3 \times 99 = 1600 - 1188 = 412$$ Les racines sont : $$x = \frac{40 \pm \sqrt{412}}{2 \times 3} = \frac{40 \pm 20.298}{6}$$ Donc : $$x_1 = \frac{40 - 20.298}{6} = 3.45$$ $$x_2 = \frac{40 + 20.298}{6} = 10.05$$ 6. **Vérification des valeurs possibles** : La valeur $x$ doit être positive et telle que $22 - 2x > 0$ et $18 - 2x > 0$. Cela impose : $$x < 9$$ Donc $x_2 = 10.05$ est impossible. 7. **Détermination du maximum** : On calcule la dérivée seconde : $$V''(x) = -160 + 24x$$ Pour $x = 3.45$ : $$V''(3.45) = -160 + 24 \times 3.45 = -160 + 82.8 = -77.2 < 0$$ Donc $x=3.45$ correspond à un maximum local. **Réponse finale** : La dimension des carrés à enlever pour maximiser le volume est environ $$\boxed{3.45 \text{ cm}}$$