1. Énoncé du problème : Nous avons une fonction de coût $C(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\}$ avec $a > 0$ et $b > 0$, et la contrainte $x_2 = \frac{a x_1}{b}$. 2. Objectif : Trouver la valeur de $C(x_1, x_2)$ en utilisant la contrainte donnée. 3. Substitution de la contrainte dans la fonction coût : On remplace $x_2$ par $\frac{a x_1}{b}$ dans $C(x_1, x_2)$ : $$C(x_1) = \min\left\{a x_1, b \times \frac{a x_1}{b}\right\}$$ 4. Simplification de l'expression : $$C(x_1) = \min\{a x_1, \cancel{b} \times \frac{a x_1}{\cancel{b}}\} = \min\{a x_1, a x_1\}$$ 5. Conclusion : Les deux expressions sont égales, donc $$C(x_1) = a x_1$$ 6. Interprétation : Le coût minimal est simplement $a x_1$ lorsque la contrainte $x_2 = \frac{a x_1}{b}$ est respectée. Ainsi, la fonction coût minimale sous cette contrainte est linéaire en $x_1$ avec un coefficient $a$.