1. Planteamos el problema: Un transportista viaja de A a B a velocidad constante $x$ km/h con $35 \leq x \leq 55$. La distancia es 300 km. 2. Datos: - Precio carburante: 0.6 euros/litro - Consumo: $10 + \frac{x^2}{120}$ litros/hora - Salario conductor: 8 euros/hora - Distancia: 300 km 3. Tiempo de viaje: $$t = \frac{300}{x} \text{ horas}$$ 4. Consumo total de carburante: $$C = \left(10 + \frac{x^2}{120}\right) \times t = \left(10 + \frac{x^2}{120}\right) \times \frac{300}{x}$$ 5. Coste carburante: $$P_c = 0.6 \times C = 0.6 \times \left(10 + \frac{x^2}{120}\right) \times \frac{300}{x}$$ 6. Coste conductor: $$P_d = 8 \times t = 8 \times \frac{300}{x} = \frac{2400}{x}$$ 7. Coste total: $$P(x) = P_c + P_d = 0.6 \times \left(10 + \frac{x^2}{120}\right) \times \frac{300}{x} + \frac{2400}{x}$$ 8. Simplificamos $P(x)$: $$P(x) = \frac{0.6 \times 300}{x} \times \left(10 + \frac{x^2}{120}\right) + \frac{2400}{x} = \frac{180}{x} \times \left(10 + \frac{x^2}{120}\right) + \frac{2400}{x}$$ 9. Expandimos: $$P(x) = \frac{180}{x} \times 10 + \frac{180}{x} \times \frac{x^2}{120} + \frac{2400}{x} = \frac{1800}{x} + \frac{180 x^2}{120 x} + \frac{2400}{x}$$ 10. Simplificamos término medio: $$\frac{180 x^2}{120 x} = \frac{180}{120} x = 1.5 x$$ 11. Entonces: $$P(x) = \frac{1800}{x} + 1.5 x + \frac{2400}{x} = 1.5 x + \frac{1800 + 2400}{x} = 1.5 x + \frac{4200}{x}$$ 12. Para minimizar $P(x)$, derivamos: $$P'(x) = 1.5 - \frac{4200}{x^2}$$ 13. Igualamos a cero para hallar extremos: $$1.5 - \frac{4200}{x^2} = 0 \Rightarrow 1.5 = \frac{4200}{x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{4200}{1.5} = 2800$$ 14. Calculamos $x$: $$x = \sqrt{2800} \approx 52.92$$ 15. Comprobamos que $x=52.92$ está en el intervalo $[35,55]$ y que es mínimo (derivada segunda positiva): $$P''(x) = \frac{2 \times 4200}{x^3} > 0$$ para $x>0$. 16. Por tanto, la velocidad óptima para minimizar el coste es aproximadamente $\boxed{52.92}$ km/h.