1. **Planteamiento del problema:** Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para un viaje. Hay 60 miembros que ya reservaron. El precio por billete es 800 euros si viajan 60 personas, pero disminuye 10 euros por cada viajero adicional a partir de 60. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Precio por billete si viajan $60 + x$ personas: $$p(x) = 800 - 10x$$ donde $x$ es el número de viajeros adicionales ($0 \leq x \leq 20$). - Número total de pasajeros: $$n = 60 + x$$. - Total cobrado: $$T(x) = n \times p(x) = (60 + x)(800 - 10x)$$. 3. **Parte a) Total cobrado para 61, 70 y 80 pasajeros:** - Para 61 pasajeros ($x=1$): $$T(1) = (60 + 1)(800 - 10 \times 1) = 61 \times 790 = 48190$$ - Para 70 pasajeros ($x=10$): $$T(10) = (60 + 10)(800 - 10 \times 10) = 70 \times 700 = 49000$$ - Para 80 pasajeros ($x=20$): $$T(20) = (60 + 20)(800 - 10 \times 20) = 80 \times 600 = 48000$$ 4. **Parte b) Total cobrado para $60 + x$ pasajeros, $0 \leq x \leq 20$:** Expresamos el total: $$T(x) = (60 + x)(800 - 10x)$$ Expandimos: $$T(x) = 60 \times 800 - 60 \times 10x + x \times 800 - 10x^2 = 48000 - 600x + 800x - 10x^2$$ Simplificamos términos: $$T(x) = 48000 + 200x - 10x^2$$ 5. **Parte c) Número de pasajeros que maximiza el total cobrado:** La función total es cuadrática: $$T(x) = -10x^2 + 200x + 48000$$ Para maximizar, calculamos el vértice de la parábola: $$x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2 \times (-10)} = -\frac{200}{-20} = 10$$ Esto significa que el total se maximiza cuando hay $x=10$ pasajeros adicionales, es decir, $60 + 10 = 70$ pasajeros. 6. **Valor máximo del total cobrado:** Sustituimos $x=10$ en $T(x)$: $$T(10) = 48000 + 200 \times 10 - 10 \times 10^2 = 48000 + 2000 - 1000 = 49000$$ **Respuesta final:** - a) Totales cobrados: 61 pasajeros = 48190, 70 pasajeros = 49000, 80 pasajeros = 48000. - b) Total general: $$T(x) = 48000 + 200x - 10x^2$$ para $0 \leq x \leq 20$. - c) Máximo total con 70 pasajeros, total máximo = 49000.