1. **Planteamiento del problema:** Se desea unir el punto $M=(0,6)$ con el punto $N=(18,0)$ mediante dos cables rectos: uno desde $M$ hasta un punto $P=(x,0)$ en el otro lado de la calle, y otro desde $P$ hasta $N$. El cable $MP$ cuesta 10 por metro y el cable $PN$ cuesta 5 por metro. Se busca: a) La función costo total $C(x)$ para $0 \leq x \leq 18$. b) El valor de $x$ que minimiza $C(x)$. c) El costo total mínimo. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - La distancia entre dos puntos $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$ es $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. - El costo total es la suma del costo de cada cable, multiplicando la longitud por su precio por metro. 3. **Cálculo de las longitudes:** - Longitud del cable $MP$: $$MP = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{x^2 + 36}$$ - Longitud del cable $PN$: $$PN = |18 - x| = 18 - x \quad \text{(porque } 0 \leq x \leq 18\text{)}$$ 4. **Función costo total $C(x)$:** $$C(x) = 10 \times MP + 5 \times PN = 10 \sqrt{x^2 + 36} + 5(18 - x)$$ 5. **Minimizar $C(x)$:** Derivamos $C(x)$ respecto a $x$: $$C'(x) = 10 \times \frac{1}{2} (x^2 + 36)^{-1/2} \times 2x - 5 = \frac{10x}{\sqrt{x^2 + 36}} - 5$$ Igualamos a cero para encontrar extremos: $$\frac{10x}{\sqrt{x^2 + 36}} - 5 = 0$$ $$\Rightarrow \frac{10x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 5$$ $$\Rightarrow 2x = \sqrt{x^2 + 36}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados: $$4x^2 = x^2 + 36$$ $$3x^2 = 36$$ $$x^2 = 12$$ $$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.464$$ 6. **Verificación del mínimo:** - Evaluamos $C'(x)$ en valores cercanos a $3.464$ para confirmar que es mínimo. 7. **Costo total mínimo:** Sustituimos $x = 2\sqrt{3}$ en $C(x)$: $$C(2\sqrt{3}) = 10 \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 36} + 5(18 - 2\sqrt{3})$$ $$= 10 \sqrt{12 + 36} + 5(18 - 2\sqrt{3})$$ $$= 10 \sqrt{48} + 90 - 10\sqrt{3}$$ $$= 10 \times 4\sqrt{3} + 90 - 10\sqrt{3} = 40\sqrt{3} + 90 - 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} + 90$$ Aproximando numéricamente: $$30 \times 1.732 + 90 = 51.96 + 90 = 141.96$$ **Respuesta final:** - a) $C(x) = 10 \sqrt{x^2 + 36} + 5(18 - x)$ para $0 \leq x \leq 18$. - b) El valor de $x$ que minimiza el costo es $x = 2\sqrt{3} \approx 3.464$. - c) El costo total mínimo es aproximadamente $141.96$.