1. Planteamos el problema: Minimizar la función objetivo $$3x + 2y$$ sujeta a las restricciones $$1 \leq x^2 + y^2 \leq 25$$ y $$x \geq 0, y \geq 0$$. 2. Las restricciones definen una corona circular (anillo) en el primer cuadrante entre las circunferencias de radio 1 y radio 5. 3. Para resolverlo gráficamente, observamos que las curvas de nivel de la función objetivo son líneas rectas de la forma $$3x + 2y = c$$ para diferentes valores de $$c$$. 4. Buscamos el valor mínimo de $$c$$ tal que la línea $$3x + 2y = c$$ toque la región factible. 5. Como la función es lineal y la región es convexa, el mínimo se alcanza en un punto de frontera, es decir, sobre alguna de las circunferencias o en los ejes. 6. Parametrizamos las circunferencias en el primer cuadrante: - Para $$x^2 + y^2 = 1$$: $$x = \cos \theta, y = \sin \theta$$ con $$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$$. - Para $$x^2 + y^2 = 25$$: $$x = 5\cos \theta, y = 5\sin \theta$$ con $$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$$. 7. Evaluamos $$3x + 2y$$ en cada circunferencia para encontrar el mínimo: Para la circunferencia interior: $$3\cos \theta + 2\sin \theta$$ Para la circunferencia exterior: $$3(5\cos \theta) + 2(5\sin \theta) = 15\cos \theta + 10\sin \theta$$ 8. Encontramos el mínimo de cada expresión en $$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$$: Para la interior: Derivamos $$f(\theta) = 3\cos \theta + 2\sin \theta$$: $$f'(\theta) = -3\sin \theta + 2\cos \theta$$ Igualamos a cero: $$-3\sin \theta + 2\cos \theta = 0 \Rightarrow 2\cos \theta = 3\sin \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2}{3}$$ Calculamos $$\theta = \arctan(\frac{2}{3}) \approx 0.588$$ rad. Evaluamos $$f(\theta)$$: $$3\cos(0.588) + 2\sin(0.588) \approx 3(0.832) + 2(0.555) = 2.496 + 1.110 = 3.606$$ Para la exterior: Derivamos $$g(\theta) = 15\cos \theta + 10\sin \theta$$: $$g'(\theta) = -15\sin \theta + 10\cos \theta$$ Igualamos a cero: $$-15\sin \theta + 10\cos \theta = 0 \Rightarrow 10\cos \theta = 15\sin \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$ Evaluamos $$g(\theta)$$: $$15\cos(0.588) + 10\sin(0.588) \approx 15(0.832) + 10(0.555) = 12.48 + 5.55 = 18.03$$ 9. Comparamos los valores mínimos: - En la circunferencia interior: mínimo $$\approx 3.606$$ - En la circunferencia exterior: mínimo $$\approx 18.03$$ 10. También evaluamos en los ejes (donde $$x=0$$ o $$y=0$$) dentro de la corona: - En $$x=0$$, $$y \in [1,5]$$, $$3(0) + 2y = 2y$$, mínimo en $$y=1$$ es 2. - En $$y=0$$, $$x \in [1,5]$$, $$3x + 0 = 3x$$, mínimo en $$x=1$$ es 3. 11. El valor mínimo más pequeño es $$2$$ en el punto $$ (0,1) $$. 12. Por lo tanto, la solución óptima es $$x=0, y=1$$ con valor mínimo $$3(0) + 2(1) = 2$$. --- **Respuesta final:** $$\boxed{(x,y) = (0,1), \quad \text{mínimo} = 2}$$