1. Planteamos el problema: La vidriera está formada por un rectángulo con base $x$ y altura $y$, y sobre él una semicircunferencia de radio $r = \frac{x}{2}$. Queremos minimizar el perímetro total y que el área sea $8 + 2\pi$ metros cuadrados. 2. Expresamos el área total $A$ como la suma del área del rectángulo y el área de la semicircunferencia: $$A = xy + \frac{1}{2} \pi r^2 = xy + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 = xy + \frac{\pi x^2}{8}$$ 3. Dado que $A = 8 + 2\pi$, tenemos la ecuación: $$xy + \frac{\pi x^2}{8} = 8 + 2\pi$$ 4. Expresamos $y$ en función de $x$: $$y = \frac{8 + 2\pi - \frac{\pi x^2}{8}}{x} = \frac{8 + 2\pi}{x} - \frac{\pi x}{8}$$ 5. El perímetro $P$ es la suma del perímetro del rectángulo sin la base superior (porque está cubierta por la semicircunferencia) más la semicircunferencia: $$P = x + 2y + \pi r = x + 2y + \pi \frac{x}{2} = x + 2y + \frac{\pi x}{2}$$ 6. Sustituimos $y$ en $P$: $$P = x + 2\left(\frac{8 + 2\pi}{x} - \frac{\pi x}{8}\right) + \frac{\pi x}{2} = x + \frac{2(8 + 2\pi)}{x} - \frac{2\pi x}{8} + \frac{\pi x}{2}$$ 7. Simplificamos los términos con $x$: $$- \frac{2\pi x}{8} + \frac{\pi x}{2} = - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi x}{4}$$ 8. Entonces: $$P = x + \frac{16 + 4\pi}{x} + \frac{\pi x}{4} = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right) x + \frac{16 + 4\pi}{x}$$ 9. Para minimizar $P$, derivamos respecto a $x$ y igualamos a cero: $$\frac{dP}{dx} = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{16 + 4\pi}{x^2} = 0$$ 10. Despejamos $x^2$: $$\frac{16 + 4\pi}{x^2} = 1 + \frac{\pi}{4}$$ 11. Simplificamos el lado derecho: $$1 + \frac{\pi}{4} = \frac{4 + \pi}{4}$$ 12. Entonces: $$\frac{16 + 4\pi}{x^2} = \frac{4 + \pi}{4} \implies x^2 = \frac{4(16 + 4\pi)}{4 + \pi} = \frac{64 + 16\pi}{4 + \pi}$$ 13. Calculamos $x$: $$x = \sqrt{\frac{64 + 16\pi}{4 + \pi}}$$ 14. Calculamos $y$ usando la expresión de $y$: $$y = \frac{8 + 2\pi}{x} - \frac{\pi x}{8}$$ 15. Estos valores de $x$ y $y$ son las dimensiones que minimizan el perímetro con el área dada. **Respuesta final:** $$x = \sqrt{\frac{64 + 16\pi}{4 + \pi}}, \quad y = \frac{8 + 2\pi}{x} - \frac{\pi x}{8}$$