1. **Énoncé du problème :** Vous avez 100 euros pour acheter des pizzas et des hamburgers au festival. Chaque pizza coûte 5 euros et chaque hamburger coûte 6 euros. Vous voulez maximiser le nombre total de kcal que vous pouvez obtenir. 2. **Données :** - Pizza : 600g, 1200 kcal, vendue en portions de 300g à 5 euros chacune (donc 1 pizza = 2 portions = 10 euros ? Non, ici on achète des pizzas de 300g à 5 euros, donc une pizza vendue au festival est de 300g, donc la pizza vendue est moitié de la pizza de 600g donnée ? On doit ajuster kcal en conséquence.) - Hamburger : 400g, 1000 kcal, vendu en portions de 300g à 6 euros chacune. 3. **Calcul des kcal par portion vendue :** - Pizza vendue : 300g, donc kcal = $\frac{300}{600} \times 1200 = 600$ kcal - Hamburger vendu : 300g, donc kcal = $\frac{300}{400} \times 1000 = 750$ kcal 4. **Variables :** - Soit $x$ le nombre de pizzas achetées - Soit $y$ le nombre de hamburgers achetés 5. **Contraintes budgétaires :** $$5x + 6y \leq 100$$ 6. **Fonction à maximiser (kcal totales) :** $$K = 600x + 750y$$ 7. **Résolution :** On cherche $x,y \in \mathbb{N}$ (entiers positifs ou nuls) maximisant $K$ sous la contrainte budgétaire. 8. **Méthode :** Tester les valeurs entières de $x$ de 0 à 20 (car $5 \times 20 = 100$) et calculer $y$ maximum possible pour chaque $x$ : $$y \leq \frac{100 - 5x}{6}$$ 9. **Calculs :** - Pour $x=0$, $y \leq \frac{100}{6} = 16$ donc $y=16$, $K=600\times0 + 750\times16=12000$ - Pour $x=1$, $y \leq \frac{95}{6} = 15$, $K=600\times1 + 750\times15=600 + 11250=11850$ - Pour $x=2$, $y \leq \frac{90}{6} = 15$, $K=1200 + 11250=12450$ - Pour $x=3$, $y \leq \frac{85}{6} = 14$, $K=1800 + 10500=12300$ - Pour $x=4$, $y \leq \frac{80}{6} = 13$, $K=2400 + 9750=12150$ - Pour $x=5$, $y \leq \frac{75}{6} = 12$, $K=3000 + 9000=12000$ - Pour $x=6$, $y \leq \frac{70}{6} = 11$, $K=3600 + 8250=11850$ - Pour $x=7$, $y \leq \frac{65}{6} = 10$, $K=4200 + 7500=11700$ - Pour $x=8$, $y \leq \frac{60}{6} = 10$, $K=4800 + 7500=12300$ - Pour $x=9$, $y \leq \frac{55}{6} = 9$, $K=5400 + 6750=12150$ - Pour $x=10$, $y \leq \frac{50}{6} = 8$, $K=6000 + 6000=12000$ - Pour $x=11$, $y \leq \frac{45}{6} = 7$, $K=6600 + 5250=11850$ - Pour $x=12$, $y \leq \frac{40}{6} = 6$, $K=7200 + 4500=11700$ - Pour $x=13$, $y \leq \frac{35}{6} = 5$, $K=7800 + 3750=11550$ - Pour $x=14$, $y \leq \frac{30}{6} = 5$, $K=8400 + 3750=12150$ - Pour $x=15$, $y \leq \frac{25}{6} = 4$, $K=9000 + 3000=12000$ - Pour $x=16$, $y \leq \frac{20}{6} = 3$, $K=9600 + 2250=11850$ - Pour $x=17$, $y \leq \frac{15}{6} = 2$, $K=10200 + 1500=11700$ - Pour $x=18$, $y \leq \frac{10}{6} = 1$, $K=10800 + 750=11550$ - Pour $x=19$, $y \leq \frac{5}{6} = 0$, $K=11400 + 0=11400$ - Pour $x=20$, $y \leq 0$, $K=12000$ 10. **Maximum kcal obtenu :** Le maximum est $12450$ kcal pour $x=2$ pizzas et $y=15$ hamburgers. **Réponse finale :** Vous pouvez obtenir au maximum **12450 kcal** avec 2 pizzas et 15 hamburgers. --- 2. La deuxième question ne demande pas de calcul, donc elle n'est pas traitée ici selon la règle d'ignorer les questions suivantes.