1. Задача: Минимизировать функцию многих переменных $$f(x,y) = (1 - x)^2 + 100(y - x^2)^2$$. 2. Формула: Это классическая функция Розенброка, часто используемая для тестирования алгоритмов оптимизации. Цель — найти точки $(x,y)$, при которых $f(x,y)$ достигает минимального значения. 3. Теоретический подход: Для нахождения минимума вычислим частные производные и приравняем их к нулю: $$\frac{\partial f}{\partial x} = -2(1 - x) - 400x(y - x^2) = 0$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = 200(y - x^2) = 0$$ 4. Из второго уравнения получаем: $$y = x^2$$ 5. Подставим в первое уравнение: $$-2(1 - x) - 400x(x^2 - x^2) = -2(1 - x) = 0$$ 6. Решаем: $$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$$ 7. Тогда: $$y = (1)^2 = 1$$ 8. Проверка: Подставим $(x,y) = (1,1)$ в функцию: $$f(1,1) = (1 - 1)^2 + 100(1 - 1^2)^2 = 0 + 0 = 0$$ 9. Вывод: Минимум функции достигается в точке $(1,1)$, где $f(x,y) = 0$. 10. В MATLAB и Excel можно использовать встроенные функции оптимизации (например, fminunc в MATLAB или Поиск решения в Excel) для численного подтверждения этого результата.