1. Задача: Минимизировать функцию двух переменных $$f(x_1, x_2) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2$$ с начальным приближением $$x^0 = (1.5, 2)$$ и найти точку минимума $$x^* = (1, 1)$$. 2. Формула: Это функция Розенброка, часто используемая для тестирования алгоритмов оптимизации. Минимум достигается при $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 1$$, где $$f(x_1, x_2) = 0$$. 3. Правила: Для минимизации используем методы градиентного спуска или встроенные функции оптимизации в MATLAB и Excel. Важно вычислить градиент: $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} \right)$$ где $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = -400x_1(x_2 - x_1^2) - 2(1 - x_1)$$ $$\frac{\partial f}{\partial x_2} = 200(x_2 - x_1^2)$$ 4. Промежуточные вычисления: Подставляем начальное приближение $$x^0 = (1.5, 2)$$ в градиент и итеративно обновляем значения $$x_1$$ и $$x_2$$, пока изменения не станут пренебрежимо малыми. 5. Теоретическая проверка: В точке $$x^* = (1, 1)$$ градиент равен нулю: $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = -400 \cdot 1 \cdot (1 - 1^2) - 2(1 - 1) = 0$$ $$\frac{\partial f}{\partial x_2} = 200(1 - 1^2) = 0$$ 6. Заключение: Точка $$x^* = (1, 1)$$ является точкой минимума функции, что подтверждается нулевым градиентом и значением функции $$f(1,1) = 0$$. Для реализации в MATLAB и Excel используйте соответствующие функции оптимизации, например, \texttt{fminunc} в MATLAB и надстройки "Поиск решения" в Excel.