1. **Постановка задачи:** Минимизировать функцию двух переменных $$f(x_1, x_2) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2$$ с начальным приближением $$x^0 = (1.5, 2)$$ и найти точку минимума $$x^* = (1, 1)$$. 2. **Формула и правила:** Это функция Розенброка, часто используемая для тестирования алгоритмов оптимизации. Минимум достигается, когда градиент равен нулю: $$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}\right) = 0$$ 3. **Вычисление частных производных:** $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = -400x_1(x_2 - x_1^2) - 2(1 - x_1)$$ $$\frac{\partial f}{\partial x_2} = 200(x_2 - x_1^2)$$ 4. **Решение уравнений градиента:** Из $$\frac{\partial f}{\partial x_2} = 0$$ получаем: $$200(x_2 - x_1^2) = 0 \Rightarrow x_2 = x_1^2$$ Подставляем в $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = 0$$: $$-400x_1(x_1^2 - x_1^2) - 2(1 - x_1) = 0 \Rightarrow -2(1 - x_1) = 0$$ $$\Rightarrow x_1 = 1$$ Тогда $$x_2 = 1^2 = 1$$. 5. **Проверка:** Подставляем $$x^* = (1,1)$$ в функцию: $$f(1,1) = 100(1 - 1^2)^2 + (1 - 1)^2 = 0$$ Это минимальное значение функции. 6. **Вывод:** Минимум функции достигается в точке $$x^* = (1,1)$$, что совпадает с заданным решением. Для реализации в MATLAB и Excel используйте методы численной оптимизации, например, градиентный спуск или встроенные функции оптимизации.