1. مسئله: ثابت کنید اگر $z$ تابعی از $x$ و $y$ باشد و $F(xz, yz) = 0$، آنگاه رابطه زیر برقرار است: $$ xz_x + yz_y = -z $$ 2. ابتدا توجه کنید که $F$ تابعی از دو متغیر $X = xz$ و $Y = yz$ است که هر دو به $x$ و $y$ وابسته‌اند. 3. مشتق جزئی $F$ نسبت به $x$ را با استفاده از قاعده زنجیره‌ای محاسبه می‌کنیم: $$ \frac{\partial F}{\partial x} = F_X \frac{\partial (xz)}{\partial x} + F_Y \frac{\partial (yz)}{\partial x} $$ 4. مشتقات جزئی عبارت‌ها: $$ \frac{\partial (xz)}{\partial x} = z + xz_x $$ $$ \frac{\partial (yz)}{\partial x} = y z_x $$ 5. بنابراین: $$ \frac{\partial F}{\partial x} = F_X (z + xz_x) + F_Y (y z_x) $$ 6. به همین ترتیب مشتق جزئی $F$ نسبت به $y$: $$ \frac{\partial F}{\partial y} = F_X \frac{\partial (xz)}{\partial y} + F_Y \frac{\partial (yz)}{\partial y} $$ 7. مشتقات جزئی عبارت‌ها: $$ \frac{\partial (xz)}{\partial y} = x z_y $$ $$ \frac{\partial (yz)}{\partial y} = z + y z_y $$ 8. پس: $$ \frac{\partial F}{\partial y} = F_X (x z_y) + F_Y (z + y z_y) $$ 9. چون $F(xz, yz) = 0$ برای همه مقادیر $x, y$، پس مشتقات جزئی $F$ نسبت به $x$ و $y$ برابر صفرند: $$ \frac{\partial F}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 0 $$ 10. معادلات (5) و (8) را برابر صفر قرار می‌دهیم: $$ F_X (z + xz_x) + F_Y (y z_x) = 0 $$ $$ F_X (x z_y) + F_Y (z + y z_y) = 0 $$ 11. این دو معادله را به صورت دستگاه معادلات خطی نسبت به $F_X$ و $F_Y$ در نظر بگیرید. برای وجود جواب غیرصفر، دترمینان باید صفر باشد، اما چون $F$ تابعی ثابت صفر است، $F_X$ و $F_Y$ نمی‌توانند هر دو صفر باشند. 12. از معادله اول: $$ F_X (z + xz_x) = - F_Y (y z_x) $$ 13. از معادله دوم: $$ F_X (x z_y) = - F_Y (z + y z_y) $$ 14. نسبت دو طرف معادلات را برابر قرار دهید: $$ \frac{z + xz_x}{x z_y} = \frac{y z_x}{z + y z_y} $$ 15. با ضرب و جابجایی، رابطه زیر حاصل می‌شود: $$ (z + x z_x)(z + y z_y) = x y z_x z_y $$ 16. با بازنویسی و ساده‌سازی، نتیجه می‌گیریم: $$ x z_x + y z_y = -z $$ که همان رابطه مورد نظر است. پاسخ نهایی: $$ \boxed{x z_x + y z_y = -z} $$