1. **Постановка задачи:** Дана задача Коши для уравнения с частными производными: $$\frac{\partial u}{\partial t} = \left(x^2 + 4 \right) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x^2 t,$$ при $t > 0$, $x \in \mathbb{R}$, с начальным условием $$u(x,0) = 5x^2 + 1.$$ 2. **Цель:** Построить разностную схему, аппроксимирующую данное уравнение и начальное условие. 3. **Обозначения:** Обозначим шаг по времени $\tau$ и шаг по пространству $h$. Обозначим $u_i^n$ приближенное значение функции $u$ в точке $x_i = i h$ и времени $t_n = n \tau$. 4. **Аппроксимация производных:** - Производная по времени первого порядка аппроксимируется разностным отношением вперед: $$\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\tau}.$$ - Вторая производная по пространству аппроксимируется центральной разностью второго порядка: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i-1}^n - 2 u_i^n + u_{i+1}^n}{h^2}.$$ 5. **Подстановка в уравнение:** $$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\tau} = (x_i^2 + 4) \frac{u_{i-1}^n - 2 u_i^n + u_{i+1}^n}{h^2} + x_i^2 t_n.$$ 6. **Выражение для $u_i^{n+1}$:** $$u_i^{n+1} = u_i^n + \tau \left[ (x_i^2 + 4) \frac{u_{i-1}^n - 2 u_i^n + u_{i+1}^n}{h^2} + x_i^2 t_n \right].$$ 7. **Начальное условие:** $$u_i^0 = 5 x_i^2 + 1.$$ 8. **Итог:** Разностная схема для задачи Коши: $$ \begin{cases} u_i^{n+1} = u_i^n + \tau \left[ (x_i^2 + 4) \frac{u_{i-1}^n - 2 u_i^n + u_{i+1}^n}{h^2} + x_i^2 t_n \right], \\ u_i^0 = 5 x_i^2 + 1. \end{cases} $$ Эта схема позволяет численно решать исходную задачу с заданным начальным условием.