1. مسئله: حل معادله گرما $$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ با شرایط اولیه $$u(x,0) = \begin{cases} T_0 & x>0 \\ -T_0 & x<0 \end{cases}$$ در میله بی‌نهایت با دیواره‌های عایق‌شده. 2. روش جداسازی متغیرها: فرض می‌کنیم $$u(x,t) = X(x)T(t)$$. 3. جایگذاری در معادله گرما: $$X(x)T'(t) = a^2 X''(x)T(t)$$ تقسیم بر $$a^2 X(x) T(t)$$: $$\frac{T'(t)}{a^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$$ که $$\lambda$$ یک ثابت جداسازی است. 4. معادلات جداگانه: - برای $$T(t)$$: $$T'(t) + a^2 \lambda T(t) = 0 \implies T(t) = C e^{-a^2 \lambda t}$$ - برای $$X(x)$$: $$X''(x) + \lambda X(x) = 0$$ 5. چون دامنه بی‌نهایت است و شرایط اولیه نامتعارف است، از تبدیل فوریه استفاده می‌کنیم. تابع اولیه یک پله است: $$u(x,0) = T_0 \operatorname{sgn}(x)$$ 6. پاسخ معادله گرما با شرایط اولیه پله‌ای در بی‌نهایت به صورت انتگرال فوریه است: $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{u}(k) e^{i k x} e^{-a^2 k^2 t} dk$$ که $$\hat{u}(k)$$ تبدیل فوریه $$u(x,0)$$ است. 7. تبدیل فوریه $$u(x,0) = T_0 \operatorname{sgn}(x)$$: $$\hat{u}(k) = \int_{-\infty}^\infty T_0 \operatorname{sgn}(x) e^{-i k x} dx = 2 i T_0 / k$$ 8. پس: $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{2 i T_0}{k} e^{i k x} e^{-a^2 k^2 t} dk = \frac{i T_0}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i k x} e^{-a^2 k^2 t}}{k} dk$$ 9. این انتگرال به صورت تابع خطای ارور (erf) حل می‌شود و جواب نهایی: $$u(x,t) = T_0 \operatorname{erf}\left( \frac{x}{2 a \sqrt{t}} \right)$$ 10. توضیح: تابع $$\operatorname{erf}$$ به صورت زیر تعریف می‌شود: $$\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^z e^{-s^2} ds$$ 11. نتیجه نهایی: $$\boxed{u(x,t) = T_0 \operatorname{erf}\left( \frac{x}{2 a \sqrt{t}} \right)}$$ این جواب شرایط اولیه و معادله گرما را ارضا می‌کند و رفتار فیزیکی پخش گرما را نشان می‌دهد.