1. مسئله: حل معادله گرما $$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ با شرایط اولیه $$u(x,0) = \begin{cases} T_0, & x>0 \\ -T_0, & x<0 \end{cases}$$ در یک میله بی‌نهایت با دیواره‌های عایق‌شده. 2. فرمول کلی حل معادله گرما با جداسازی متغیرها: فرض می‌کنیم $$u(x,t) = X(x)T(t)$$ سپس معادله به دو معادله معمولی تبدیل می‌شود: $$\frac{1}{a^2 T(t)} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X}{dx^2} = -\lambda$$ که $$\lambda$$ یک مقدار جداکننده است. 3. معادلات جداگانه: - معادله زمانی: $$\frac{dT}{dt} + a^2 \lambda T = 0$$ - معادله مکانی: $$\frac{d^2 X}{dx^2} + \lambda X = 0$$ 4. حل معادله مکانی با توجه به شرایط مرزی و اولیه، و سپس ترکیب جواب‌ها با شرایط اولیه برای یافتن ضرایب سری فوریه. 5. نکته مهم: برای میله بی‌نهایت، معمولاً از تبدیل فوریه یا سری فوریه استفاده می‌شود تا جواب کلی به صورت انتگرال یا سری بیان شود. 6. خلاصه فرمول کلی: $$u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x-\xi,t) f(\xi) d\xi$$ که $$G$$ تابع گرین معادله گرما و $$f(\xi)$$ تابع اولیه است. 7. در این سوال خاص، تابع اولیه $$f(x) = T_0 \cdot \text{sgn}(x)$$ است که می‌توان با تبدیل فوریه حل کرد. با این فرمول‌ها و روش‌ها می‌توانید مسائل مشابه را حل کنید.