1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'équation aux dérivées partielles (E) : $$x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$ pourrait se réduire à la forme $$\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$$. 2. **Formule et changement de variables :** On cherche un changement de variables $\xi = \xi(x,y)$ et $\eta = \eta(x,y)$ tel que l'équation s'écrive sous la forme $$A \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2B \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + C \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$$ avec $A, B, C$ fonctions des dérivées de $\xi$ et $\eta$. 3. **Calcul des coefficients :** On calcule $$A = x^2 \left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2 + 2xy \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial y} + y^2 \left(\frac{\partial \xi}{\partial y}\right)^2,$$ $$B = x^2 \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial x} + xy \left(\frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial y} + \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial x}\right) + y^2 \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial y},$$ $$C = x^2 \left(\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)^2 + 2xy \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial y} + y^2 \left(\frac{\partial \eta}{\partial y}\right)^2.$$ 4. **Choix du changement de variables :** Posons $\alpha = x$ et $\beta = \frac{x}{y}$. 5. **Calcul des dérivées partielles :** $$\frac{\partial \alpha}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial \alpha}{\partial y} = 0,$$ $$\frac{\partial \beta}{\partial x} = \frac{1}{y}, \quad \frac{\partial \beta}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} = -\frac{\beta}{y}.$$ 6. **Calcul des coefficients $A, B, C$ pour $\xi = \alpha$, $\eta = \beta$ :** $$A = x^2 (1)^2 + 2xy (1)(0) + y^2 (0)^2 = x^2,$$ $$B = x^2 (1) \frac{1}{y} + xy \left(1 \cdot \left(-\frac{\beta}{y}\right) + 0 \cdot \frac{1}{y}\right) + y^2 (0) \left(-\frac{\beta}{y}\right) = \frac{x^2}{y} + xy \left(-\frac{\beta}{y}\right) = \frac{x^2}{y} - x y \frac{\beta}{y} = \frac{x^2}{y} - x \beta = 0,$$ car $\beta = \frac{x}{y}$. $$C = x^2 \left(\frac{1}{y}\right)^2 + 2xy \frac{1}{y} \left(-\frac{\beta}{y}\right) + y^2 \left(-\frac{\beta}{y}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} - 2x y \frac{\beta}{y^2} + y^2 \frac{\beta^2}{y^2} = \frac{x^2}{y^2} - 2x \frac{\beta}{y} + \beta^2 = 0,$$ car $\beta = \frac{x}{y}$. 7. **Conclusion sur la forme de l'équation :** L'équation devient $$x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha^2} + 0 + 0 = 0 \implies \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha^2} = 0,$$ ce qui est équivalent à $$\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0,$$ avec $\eta = \beta$. 8. **Résolution de $\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$ :** L'équation $\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$ signifie que $u$ est affine en $\eta$ : $$u(\alpha, \eta) = A(\alpha) \eta + B(\alpha),$$ avec $A$ et $B$ fonctions de classe $C^2$ en $\alpha$. 9. **Retour aux variables originales :** On a $\alpha = x$ et $\eta = \frac{x}{y}$, donc $$u(x,y) = A(x) \frac{x}{y} + B(x).$$ **Réponse finale :** $$\boxed{u(x,y) = A(x) \frac{x}{y} + B(x), \quad A, B \in C^2(]0,+\infty[)}.$$