1. Énonçons le problème : Étudier les notions mathématiques utilisées en sciences pharmaceutiques, notamment les fonctions exponentielles et logarithmiques, les équations différentielles, les proportions et pourcentages, ainsi que la modélisation mathématique. 2. Présentons les formules et concepts clés : - Fonction exponentielle : $f(t) = Ae^{kt}$ où $A$ est la valeur initiale, $k$ la constante de croissance ou décroissance. - Fonction logarithmique : $y = \log_b(x)$, inverse de la fonction exponentielle. - Équations différentielles : par exemple, $\frac{dy}{dt} = ky$ modélise la croissance ou décroissance exponentielle. - Proportions et pourcentages : calculs de fractions et pourcentages pour dosages et concentrations. - Modélisation mathématique : utilisation des équations pour représenter des phénomènes pharmacologiques. 3. Montrons un exemple d’équation différentielle en pharmacocinétique : $$\frac{dC}{dt} = -kC$$ avec $C$ la concentration du médicament et $k$ la constante d’élimination. 4. Résolvons cette équation : Séparons les variables : $$\frac{dC}{C} = -k dt$$ Intégrons des deux côtés : $$\int \frac{1}{C} dC = -k \int dt$$ Ce qui donne : $$\ln|C| = -kt + C_1$$ Exponentions : $$C = e^{C_1} e^{-kt} = C_0 e^{-kt}$$ avec $C_0 = e^{C_1}$ la concentration initiale. 5. Interprétation : La concentration décroît exponentiellement avec le temps, caractéristique de la pharmacocinétique. 6. Calcul de la demi-vie $t_{1/2}$ : La demi-vie est le temps pour que $C$ soit la moitié de $C_0$ : $$\frac{C_0}{2} = C_0 e^{-kt_{1/2}}$$ Divisons par $C_0$ : $$\frac{1}{2} = e^{-kt_{1/2}}$$ Prenons le logarithme : $$\ln \frac{1}{2} = -kt_{1/2}$$ Donc : $$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$ Cette formule est essentielle pour comprendre la durée d’action d’un médicament.