1. **Énoncé du problème :** On considère un circuit RLC série alimenté par une source de courant sinusoïdal d’intensité $i(t) = I_0 \cos(\omega t)$. 2. **Expression de l’amplitude complexe $U$ de la tension $u(t)$ aux bornes du circuit :** Le courant est donné par $i(t) = I_0 \cos(\omega t)$, sa forme complexe est $I = I_0 e^{j\omega t}$. La tension complexe aux bornes du circuit est $U = Z I$ où $Z$ est l'impédance complexe du circuit RLC série : $$Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$$ Donc : $$U = I_0 \left(R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\right)$$ 3. **Amplitude $U_m$ de $u(t)$ :** L'amplitude est le module de $U$ : $$U_m = I_0 \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$$ 4. **Valeur de $\omega_0$ pour laquelle $U_m$ est maximale :** Pour maximiser $U_m$, on minimise la partie imaginaire au carré : $$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ 5. **Courbe de $U_m$ en fonction de $\omega$ et largeur $\Delta \omega$ :** La courbe est une fonction de $\omega$ avec un pic à $\omega_0$. La largeur à mi-hauteur est définie par $U_m = \frac{U_m(\max)}{\sqrt{2}}$. On résout : $$I_0 \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} = \frac{I_0 R}{\sqrt{2}}$$ Ce qui donne : $$\left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right| = R$$ Les pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ sont solutions de : $$\omega L - \frac{1}{\omega C} = \pm R$$ La largeur est : $$\Delta \omega = \omega_1 - \omega_2$$ 6. **Facteur de qualité $Q$ :** Défini par : $$\frac{1}{Q} = \frac{4 \Delta \omega}{\omega_0}$$ On sait que : $$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$$ 7. **Puissance électrique moyenne $P$ fournie par la source :** La puissance moyenne dissipée dans la résistance est : $$P = \frac{1}{2} R I_m^2$$ avec $I_m = I_0$ car courant imposé. 8. **Maximisation de la puissance $P$ en fonction de $\omega$ :** La puissance dépend de $U_m$ et donc de $\omega$ via l'impédance. On trouve que $P$ est maximale pour $\omega = \omega_0$. 9. **Expression de $P$ sous la forme donnée :** Posons $x = \frac{\omega}{\omega_0}$. On a : $$P = \frac{P_{max}}{1 + A \left(x - \frac{1}{x}\right)^2}$$ avec $$P_{max} = \frac{1}{2} R I_0^2$$ $$A = Q^2$$ 10. **Largeur relative $\frac{\Delta \omega}{\omega_0}$ telle que $P > \frac{P_{max}}{2}$ :** On trouve que : $$\frac{\Delta \omega}{\omega_0} = \frac{1}{Q}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\begin{cases} U = I_0 \left(R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\right) \\ U_m = I_0 \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} \\ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \\ P = \frac{1}{2} R I_0^2 \frac{1}{1 + Q^2 \left(x - \frac{1}{x}\right)^2} \\ \frac{\Delta \omega}{\omega_0} = \frac{1}{Q} \end{cases}}$$