1. مسئله: گلوله‌ای پس از ترک نیمکره، در چه فاصله افقی بر حسب متر از مرکز نیمکره به سطح زمین برخورد می‌کند؟ 2. فرضیات و داده‌ها: فرض می‌کنیم نیمکره شعاع $R$ دارد و گلوله از لبه نیمکره با سرعت اولیه $v_0$ و زاویه‌ای نسبت به افق خارج می‌شود. 3. فرمول‌های مورد استفاده: - معادلات حرکت پرتابه: $$x(t) = v_0 \cos(\theta) t$$ $$y(t) = R + v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2$$ که $x(t)$ فاصله افقی، $y(t)$ ارتفاع از سطح زمین، $g$ شتاب گرانش و $\theta$ زاویه پرتاب است. 4. هدف: یافتن زمان برخورد گلوله با زمین یعنی زمانی که $y(t) = 0$ باشد. 5. حل معادله ارتفاع: $$0 = R + v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2$$ 6. معادله درجه دوم نسبت به $t$: $$\frac{1}{2} g t^2 - v_0 \sin(\theta) t - R = 0$$ 7. حل معادله درجه دوم با فرمول کلی: $$t = \frac{v_0 \sin(\theta) \pm \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2 g R}}{g}$$ 8. زمان مثبت را انتخاب می‌کنیم: $$t = \frac{v_0 \sin(\theta) + \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2 g R}}{g}$$ 9. فاصله افقی برخورد: $$x = v_0 \cos(\theta) t = v_0 \cos(\theta) \times \frac{v_0 \sin(\theta) + \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2 g R}}{g}$$ 10. نتیجه نهایی: فاصله افقی برخورد گلوله به سطح زمین از مرکز نیمکره برابر است با $$\boxed{x = \frac{v_0 \cos(\theta)}{g} \left(v_0 \sin(\theta) + \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2 g R}\right)}$$ این فرمول با توجه به سرعت اولیه، زاویه پرتاب، شعاع نیمکره و شتاب گرانش، فاصله افقی برخورد را محاسبه می‌کند.