1. **Énoncé du problème** : Nous étudions un modèle d'Ising sur un réseau de N sites avec un moment magnétique $\vec{\mu}$ pouvant prendre les valeurs $\pm \mu$ selon l'axe z. L'énergie totale est donnée par : $$ H = -\mu B \sum_i \sigma_i - J \sum_{} \sigma_i \sigma_j $$ avec $\sigma_i = \pm 1$. 2. **Valeur de q selon le réseau** : - Linéaire (1D) : $q=2$ (chaque site a 2 voisins) - Triangulaire (2D) : $q=6$ - Carré (2D) : $q=4$ - Hexagonal (2D) : $q=3$ - Cubique (3D) : $q=6$ 3. **Expression de L, $N^+, N^-$ et magnétisation M** : Le paramètre d'ordre est $$ L = \frac{N^+ - N^-}{N} = \frac{1}{N} \sum_i \sigma_i = \langle \sigma \rangle $$ On a donc $$ N^+ = \frac{N}{2}(1+L), \quad N^- = \frac{N}{2}(1-L) $$ La magnétisation est $$ M = (N^+ - N^-) \mu = N L \mu $$ 4. **Approximation du champ moyen** : On remplace $$ -J \sum_{} \sigma_i \sigma_j \to -J \left( \frac{1}{2} q \langle \sigma \rangle \right) \sum_i \sigma_i = -J \frac{1}{2} q L \sum_i \sigma_i $$ L'énergie moyenne devient $$ \langle H \rangle = -\mu B N L - J \frac{1}{2} q N L^2 $$ 5. **Relation entre L, B, T** : En remplaçant $N^+, N^-$ dans la distribution de Boltzmann, on obtient $$ \frac{q J L + \mu B}{k_B T} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+L}{1-L} \right) = \tanh^{-1}(L) $$ 6. **Magnétisation spontanée ($B=0$)** : L'équation devient $$ L_0 = \tanh \left( \frac{q J L_0}{k_B T} \right) $$ **Résolution graphique** : - On trace la droite $y=L$ et la courbe $y=\tanh\left(\frac{q J}{k_B T} L\right)$. - Les points d'intersection donnent les solutions $L_0$. - Pour $T > T_c$, seule la solution $L_0=0$ existe. - Pour $T < T_c$, des solutions non nulles apparaissent, indiquant une magnétisation spontanée. **Température critique** : On linéarise autour de $L_0=0$ : $$ L_0 \approx \frac{q J}{k_B T} L_0 \implies T_c = \frac{q J}{k_B} $$ **Commentaire** : La température critique dépend du nombre de voisins $q$ et de la constante d'interaction $J$. Au-dessus de $T_c$, le système est paramagnétique, en dessous il est ferromagnétique.