1. مسئله: محاسبه پتانسیل داخل کره با شعاع $R=1$ که هیچ باری در داخل کره وجود ندارد و پتانسیل روی سطح کره به صورت $f(\phi) = \cos 2\phi$ داده شده است. 2. فرمول پایه: پتانسیل داخل کره بدون بار داخلی و با شرایط مرزی مشخص، از حل معادله لاپلاس در مختصات کروی به دست می‌آید. جواب کلی به صورت سری لگژانژ است: $$u(r,\phi) = \sum_{l=0}^\infty A_l r^l P_l(\cos \phi)$$ که در آن $P_l$ چندجمله‌ای‌های لگژانژ هستند و $A_l$ ضرایب سری هستند. 3. شرایط مرزی: روی سطح کره $r=1$ داریم: $$u(1,\phi) = f(\phi) = \cos 2\phi$$ 4. تجزیه $f(\phi)$ به چندجمله‌ای‌های لگژانژ: چون $\cos 2\phi$ را می‌توان به صورت $P_2(\cos \phi)$ نوشت (زیرا $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 -1)$ و $\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi -1$)، پس: $$\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi -1 = 2x^2 -1 = P_2(x)$$ که $x=\cos \phi$ است. 5. بنابراین: $$u(1,\phi) = A_2 P_2(\cos \phi) = \cos 2\phi$$ پس $A_2 = 1$ و بقیه ضرایب صفر هستند. 6. جواب نهایی: $$u(r,\phi) = r^2 P_2(\cos \phi) = r^2 \cos 2\phi$$ 7. توضیح: این جواب نشان می‌دهد که پتانسیل داخل کره به صورت تابعی از $r^2$ و $\cos 2\phi$ است که شرط مرزی را برآورده می‌کند و معادله لاپلاس را حل می‌کند. 8. نمودار: برای رسم $u(r,\phi) = r^2 \cos 2\phi$ می‌توان از مختصات قطبی استفاده کرد که در آن مقدار پتانسیل با تغییر $r$ و $\phi$ تغییر می‌کند و شکل موجی با دو نوسان در جهت زاویه‌ای دارد.