1. مسئله: محاسبه پتانسیل داخل کره‌ای به شعاع $R=1$ است که هیچ بار الکتریکی در داخل آن وجود ندارد و پتانسیل روی سطح کره به صورت تابعی از زاویه $C6$ داده شده است. 2. فرمول کلی: برای حل مسئله پتانسیل در فضای بدون بار (حل معادله لاپلاس) داخل کره، از سری لژاندر استفاده می‌کنیم. پتانسیل $u(r,\phi)$ به صورت زیر است: $$u(r,\phi) = \sum_{l=0}^\infty A_l r^l P_l(\cos \phi)$$ که در آن $P_l$ چندجمله‌ای لژاندر درجه $l$ است و $A_l$ ضرایب سری هستند که از شرایط مرزی تعیین می‌شوند. 3. شرایط مرزی: پتانسیل روی سطح کره $r=1$ برابر است با تابع داده شده $f(\phi)$: $$u(1,\phi) = f(\phi) = \sum_{l=0}^\infty A_l P_l(\cos \phi)$$ 4. برای یافتن ضرایب $A_l$ از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: $$A_l = \frac{2l+1}{2} \int_0^\pi f(\phi) P_l(\cos \phi) \sin \phi \, d\phi$$ 5. مثال‌ها: a) اگر $f(\phi) = 1$ باشد، چون $P_0(\cos \phi) = 1$ و بقیه $P_l$ ها برای $l>0$ در انتگرال صفر می‌شوند، تنها $A_0$ غیر صفر است و برابر است با 1. پس: $$u(r,\phi) = A_0 r^0 P_0(\cos \phi) = 1$$ یعنی پتانسیل داخل کره ثابت و برابر 1 است. b) اگر $f(\phi) = \cos 2\phi$ باشد، باید آن را به صورت سری لژاندر بنویسیم. توجه کنید که $\cos 2\phi$ را می‌توان به چندجمله‌ای لژاندر مرتبط کرد. در واقع: $$\cos 2\phi = 2 \cos^2 \phi - 1 = \frac{4}{3} P_2(\cos \phi) - \frac{1}{3} P_0(\cos \phi)$$ پس: $$f(\phi) = -\frac{1}{3} P_0(\cos \phi) + \frac{4}{3} P_2(\cos \phi)$$ بنابراین ضرایب: $$A_0 = -\frac{1}{3}, \quad A_2 = \frac{4}{3}, \quad A_l = 0 \text{ برای } l \neq 0,2$$ و پتانسیل داخل کره: $$u(r,\phi) = -\frac{1}{3} r^0 P_0(\cos \phi) + \frac{4}{3} r^2 P_2(\cos \phi) = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} r^2 \frac{1}{2} (3 \cos^2 \phi -1)$$ 6. نمودار پتانسیل $u(r,\phi)$ را می‌توان برای مقادیر مختلف $r$ و $\phi$ رسم کرد تا شکل توزیع پتانسیل داخل کره را مشاهده کنیم. خلاصه: فرمول کلی پتانسیل داخل کره بدون بار با شرایط مرزی $f(\phi)$ روی سطح کره: $$u(r,\phi) = \sum_{l=0}^\infty A_l r^l P_l(\cos \phi), \quad A_l = \frac{2l+1}{2} \int_0^\pi f(\phi) P_l(\cos \phi) \sin \phi \, d\phi$$ که با جایگذاری $f(\phi)$ و محاسبه ضرایب $A_l$، پتانسیل داخل کره به دست می‌آید.