1. **Énoncé du problème :** Un projectile est lancé verticalement avec une vitesse initiale de 35 m/s. Sa hauteur après $t$ secondes est donnée par la fonction $h(t) = 35t - 5t^2$. 2. **Formules importantes :** - La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps : $v(t) = h'(t)$. - Pour trouver quand le projectile touche le sol, on résout $h(t) = 0$. 3. **Calcul de la vitesse :** $$v(t) = \frac{d}{dt}(35t - 5t^2) = 35 - 10t$$ 4. **a) Vitesse à $t=2$ s et $t=4$ s :** - Pour $t=2$ : $$v(2) = 35 - 10 \times 2 = 35 - 20 = 15$$ - Pour $t=4$ : $$v(4) = 35 - 10 \times 4 = 35 - 40 = -5$$ 5. **b) Moment où le projectile retombe au sol :** On résout $h(t) = 0$ : $$35t - 5t^2 = 0$$ Factorisons : $$t(35 - 5t) = 0$$ Donc $t=0$ (lancement) ou $35 - 5t = 0$. Résolvons $35 - 5t = 0$ : $$5t = 35$$ $$t = \frac{35}{5} = 7$$ Le projectile retombe donc au sol à $t=7$ secondes. 6. **c) Vitesse au moment de l'impact ($t=7$ s) :** $$v(7) = 35 - 10 \times 7 = 35 - 70 = -35$$ La vitesse est négative, ce qui signifie que le projectile descend à 35 m/s au moment de l'impact. **Réponses finales :** - a) $v(2) = 15$ m/s, $v(4) = -5$ m/s - b) Le projectile retombe au sol à $t=7$ s - c) La vitesse à l'impact est $-35$ m/s