1. **بيان المشكلة:** لدينا دائرة كهربائية تحتوي على بطارية ذات جهد داخلي $V_B$ ومقاومة داخلية $r$. عند فتح المفتاح $K$، قراءة الفولتميتر هي 9 فولت، وعند غلق المفتاح تصبح القراءة 8 فولت. المطلوب حساب $V_B$ و $r$. 2. **المعطيات:** - المقاومة الأولى $R_1 = 6 \Omega$ - المقاومة الثانية $R_2 = 12 \Omega$ - جهد الفولتميتر عند فتح المفتاح $V_{open} = 9$ فولت - جهد الفولتميتر عند غلق المفتاح $V_{closed} = 8$ فولت 3. **شرح الدائرة:** - عند فتح المفتاح، المقاومة $12 \Omega$ غير متصلة، إذن التيار يمر فقط عبر المقاومة $6 \Omega$. - عند غلق المفتاح، المقاومتان $6 \Omega$ و $12 \Omega$ متصلتان على التوازي. 4. **صيغة جهد البطارية مع المقاومة الداخلية:** $$ V = V_B - I r $$ حيث $I$ هو التيار المار في الدائرة. 5. **حساب التيار عند فتح المفتاح:** - المقاومة الكلية $R_{open} = 6 \Omega$ - التيار $I_{open} = \frac{V_B}{R_{open} + r} = \frac{V_B}{6 + r}$ - جهد الفولتميتر يساوي جهد المقاومة الخارجية: $$ V_{open} = I_{open} \times R_{open} = \frac{V_B}{6 + r} \times 6 $$ 6. **حساب التيار عند غلق المفتاح:** - المقاومة المكافئة للتوازي: $$ R_{closed} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega $$ - التيار $I_{closed} = \frac{V_B}{R_{closed} + r} = \frac{V_B}{4 + r}$ - جهد الفولتميتر: $$ V_{closed} = I_{closed} \times R_{closed} = \frac{V_B}{4 + r} \times 4 $$ 7. **كتابة المعادلات من القيم المعطاة:** $$ 9 = \frac{6 V_B}{6 + r} $$ $$ 8 = \frac{4 V_B}{4 + r} $$ 8. **حل المعادلة الأولى:** $$ 9 (6 + r) = 6 V_B $$ $$ 54 + 9 r = 6 V_B $$ 9. **حل المعادلة الثانية:** $$ 8 (4 + r) = 4 V_B $$ $$ 32 + 8 r = 4 V_B $$ 10. **التخلص من $V_B$ بحل النظام:** من المعادلة الأولى: $$ V_B = \frac{54 + 9 r}{6} = 9 + 1.5 r $$ من المعادلة الثانية: $$ V_B = \frac{32 + 8 r}{4} = 8 + 2 r $$ 11. **مساواة التعبيرين لـ $V_B$:** $$ 9 + 1.5 r = 8 + 2 r $$ $$ 9 - 8 = 2 r - 1.5 r $$ $$ 1 = 0.5 r $$ $$ r = 2 \Omega $$ 12. **حساب $V_B$ باستخدام $r=2$:** $$ V_B = 9 + 1.5 \times 2 = 9 + 3 = 12 \text{ فولت} $$ **النتيجة النهائية:** $$ V_B = 12 \text{ فولت}, \quad r = 2 \Omega $$