1. **Problemstellung:** Zwei Flugzeuge F₁ und F₂ starten an den Punkten A(8|5|3) und P(-2,5|6,5|2). F₁ hat eine Geschwindigkeit $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}-7 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ km/min. F₂ ist nach 1 Minute bei Q(4,5|5,5|4). Beide fliegen geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit. 2. **Bewegungsgleichungen aufstellen:** - Für F₁ gilt: $\vec{r}_1(t) = \vec{A} + t \vec{v}_1 = \begin{pmatrix}8 \\ 5 \\ 3\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-7 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ mit $t$ in Minuten. - Für F₂ bestimmen wir zuerst die Geschwindigkeit $\vec{v}_2$: $$\vec{v}_2 = \frac{\vec{Q} - \vec{P}}{1} = \begin{pmatrix}4.5 \\ 5.5 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2.5 \\ 6.5 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$$ Also ist die Bewegungsgleichung von F₂: $$\vec{r}_2(t) = \vec{P} + t \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}-2.5 \\ 6.5 \\ 2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}7 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$$ 3. **Geschwindigkeit von F₁ in km/h:** - Geschwindigkeit in km/min: $|\vec{v}_1| = \sqrt{(-7)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348$ km/min. - Umrechnung in km/h: $7.348 \times 60 = 440.88$ km/h. 4. **Schnittpunkt der Flugbahnen:** - Wir suchen $t, s$ mit $\vec{r}_1(t) = \vec{r}_2(s)$: $$\begin{cases}8 - 7t = -2.5 + 7s \\ 5 + t = 6.5 - s \\ 3 + 2t = 2 + 2s\end{cases}$$ - Aus der dritten Gleichung: $3 + 2t = 2 + 2s \Rightarrow 1 + 2t = 2s \Rightarrow s = \frac{1}{2} + t$. - Einsetzen in zweite Gleichung: $$5 + t = 6.5 - \left(\frac{1}{2} + t\right) = 6.5 - 0.5 - t = 6 - t$$ $$5 + t = 6 - t \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = 0.5$$ - Dann $s = 0.5 + 0.5 = 1$. - Prüfen erste Gleichung: $$8 - 7(0.5) = 8 - 3.5 = 4.5$$ $$-2.5 + 7(1) = -2.5 + 7 = 4.5$$ Gleichheit bestätigt. - Also schneiden sich die Flugbahnen bei $t=0.5$ (F₁) und $s=1$ (F₂). 5. **Schnittwinkel berechnen:** - Formel für Winkel $\theta$ zwischen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$: $$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$ - Skalarprodukt: $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-7)(7) + 1(-1) + 2(2) = -49 -1 +4 = -46$$ - Beträge: $$|\vec{v}_1| = \sqrt{54}$$ $$|\vec{v}_2| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54}$$ - Winkel: $$\cos(\theta) = \frac{-46}{\sqrt{54} \times \sqrt{54}} = \frac{-46}{54} = -\frac{23}{27} \approx -0.8519$$ $$\theta = \arccos(-0.8519) \approx 148.1^\circ$$ - Der Schnittwinkel ist der kleinere Winkel zwischen den Flugbahnen: $$180^\circ - 148.1^\circ = 31.9^\circ$$ 6. **Begründung, dass keine Kollision stattfindet:** - Die Flugzeuge sind zum Zeitpunkt des Schnittpunkts nicht gleichzeitig dort (F₁ bei $t=0.5$, F₂ bei $s=1$). Da $t$ und $s$ unterschiedliche Werte sind, kollidieren sie nicht. 7. **F₃: Geschwindigkeit von Süden nach Norden:** - F₁ bewegt sich von Süden nach Norden, also positive $y$-Richtung. - F₃ fliegt west-östlich, also entlang der $x$-Achse. - Geschwindigkeit $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix}v_x \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ mit $700 \leq |\vec{v}_3| \leq 900$ km/h. - Umrechnung in km/min: $\frac{700}{60} \approx 11.67$ bis $\frac{900}{60} = 15$ km/min. - Also $v_x$ liegt in $[-15, -11.67]$ oder $[11.67, 15]$ (West- oder Ost-Richtung). - Beispiel: $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix}12 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ km/min. 8. **F₄: Geschwindigkeit senkrecht zu F₁ und F₂:** - Gesucht ist $\vec{v}_4$ mit: $$\vec{v}_4 \cdot \vec{v}_1 = 0$$ $$\vec{v}_4 \cdot \vec{v}_2 = 0$$ - Setze $\vec{v}_4 = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$. - Gleichungen: $$-7x + y + 2z = 0$$ $$7x - y + 2z = 0$$ - Addiere beide: $$(-7x + y + 2z) + (7x - y + 2z) = 0 + 0 \Rightarrow 4z = 0 \Rightarrow z = 0$$ - Setze $z=0$ in erste Gleichung: $$-7x + y = 0 \Rightarrow y = 7x$$ - Beispiel für $x=1$: $$\vec{v}_4 = \begin{pmatrix}1 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}$$ **Endergebnisse:** - a) Bewegungsgleichungen: $$\vec{r}_1(t) = \begin{pmatrix}8 - 7t \\ 5 + t \\ 3 + 2t\end{pmatrix}, \quad \vec{r}_2(t) = \begin{pmatrix}-2.5 + 7t \\ 6.5 - t \\ 2 + 2t\end{pmatrix}$$ - Geschwindigkeit F₁: ca. 441 km/h. - b) Flugbahnen schneiden sich bei $t=0.5$ (F₁) und $s=1$ (F₂) unter ca. $31.9^\circ$, keine Kollision. - c) Beispiel F₃: $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix}12 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ km/min. - d) Beispiel F₄: $\vec{v}_4 = \begin{pmatrix}1 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}$ km/min.