1. **Problemstellung:** Zwei Hubschrauber Alpha und Beta fliegen jeweils geradlinig von gegebenen Punkten mit bekannten Geschwindigkeiten. Es soll gezeigt werden, ob sie sich auf Kollisionskurs befinden und ob sie tatsächlich kollidieren. 2. **Gegebene Punkte und Geschwindigkeiten:** - Alpha startet bei $A(10,6,0)$ und fliegt zum Gipfel $D(4,-3,3)$ mit $v_\alpha=300$ km/h. - Beta startet bei $T(7,-8,3)$ und fliegt nach $B(4,16,0)$ mit $v_\beta=350$ km/h. 3. **Parametergleichungen der Flugbahnen:** - Flugbahn Alpha: $$\vec{x}_\alpha = \begin{pmatrix}10 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4-10 \\ -3-6 \\ 3-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-6 \\ -9 \\ 3\end{pmatrix}$$ - Flugbahn Beta: $$\vec{x}_\beta = \begin{pmatrix}7 \\ -8 \\ 3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4-7 \\ 16+8 \\ 0-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ -8 \\ 3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ 24 \\ -3\end{pmatrix}$$ 4. **Kollisionskurs prüfen:** Die Hubschrauber sind auf Kollisionskurs, wenn es Parameter $t,s$ gibt, sodass $$\vec{x}_\alpha(t) = \vec{x}_\beta(s)$$ gilt. Dies führt zu folgendem Gleichungssystem: $$\begin{cases} 10 - 6t = 7 - 3s \\ 6 - 9t = -8 + 24s \\ 0 + 3t = 3 - 3s \end{cases}$$ 5. **Gleichungssystem lösen:** Aus der dritten Gleichung: $$3t = 3 - 3s \Rightarrow t = 1 - s$$ Einsetzen in die erste Gleichung: $$10 - 6(1 - s) = 7 - 3s \Rightarrow 10 - 6 + 6s = 7 - 3s \Rightarrow 4 + 6s = 7 - 3s$$ $$6s + 3s = 7 - 4 \Rightarrow 9s = 3 \Rightarrow s = \frac{1}{3}$$ Dann: $$t = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Prüfen in der zweiten Gleichung: $$6 - 9 \cdot \frac{2}{3} = -8 + 24 \cdot \frac{1}{3}$$ $$6 - 6 = -8 + 8$$ $$0 = 0$$ Alle Gleichungen sind erfüllt, also sind die Flugbahnen schnittgleich und die Hubschrauber sind auf Kollisionskurs. 6. **Kollisionspunkt berechnen:** Setze $s=\frac{1}{3}$ in $\vec{x}_\beta$ ein: $$\vec{x}_\beta\left(\frac{1}{3}\right) = \begin{pmatrix}7 \\ -8 \\ 3\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ 24 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 - 1 \\ -8 + 8 \\ 3 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$$ 7. **Zeit bis zur Kollision:** - Alpha fliegt $\vec{AD} = \sqrt{(-6)^2 + (-9)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 81 + 9} = \sqrt{126} \approx 11.225$ km. - Beta fliegt $\vec{TB} = \sqrt{(-3)^2 + 24^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 576 + 9} = \sqrt{594} \approx 24.38$ km. Die Parameter $t=\frac{2}{3}$ und $s=\frac{1}{3}$ entsprechen Strecken: - Alpha: $t \cdot 11.225 \approx 7.483$ km - Beta: $s \cdot 24.38 \approx 8.127$ km Zeit bis Kollision: - Alpha: $\frac{7.483}{300} \approx 0.02494$ h $= 1.5$ min - Beta: $\frac{8.127}{350} \approx 0.02322$ h $= 1.39$ min Die Zeiten stimmen nicht exakt überein, daher kollidieren sie nicht tatsächlich. **Endergebnis:** - Die Hubschrauber sind auf Kollisionskurs. - Sie kollidieren nicht, da sie die Kollisionsstelle zu unterschiedlichen Zeiten erreichen.