1. **Problemstellung:** Wir wollen aus der Schwingungsdauer $T$ und der Länge $L$ eines Fadenpendels die Erdbeschleunigung $g$ mit Unsicherheit bestimmen. 2. **Formel umstellen:** Die gegebene Formel ist $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$ Wir lösen nach $g$ auf: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \Rightarrow \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{g}} \Rightarrow \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{g} \Rightarrow g = \frac{L}{\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2} = L \cdot \frac{4\pi^2}{T^2}.$$ 3. **Einsetzen der Werte:** $$g = 0.58 * \frac{4 * \pi^2}{1.5^2} = 0.58 * \frac{4 * 9.8696}{2.25} = 0.58 * \frac{39.4784}{2.25} = 0.58 * 17.546 = 10.1767.$$ Auf 4 signifikante Stellen gerundet: $$g \approx 10.18\ \mathrm{m/s^2}.$$ 4. **Partielle Ableitungen für Fehlerfortpflanzung:** $$g = L \cdot \frac{4\pi^2}{T^2}$$ - Ableitung nach $L$: $$\frac{\partial g}{\partial L} = \frac{4\pi^2}{T^2}.$$ - Ableitung nach $T$: $$\frac{\partial g}{\partial T} = L \cdot 4\pi^2 \cdot \frac{\partial}{\partial T} \left(T^{-2}\right) = L \cdot 4\pi^2 \cdot (-2) T^{-3} = -8 \pi^2 \frac{L}{T^3}.$$ 5. **Einsetzen der Werte:** $$\frac{\partial g}{\partial L} = \frac{4 * \pi^2}{1.5^2} = \frac{39.4784}{2.25} = 17.546.$$ $$\frac{\partial g}{\partial T} = -8 * \pi^2 * \frac{0.58}{1.5^3} = -8 * 9.8696 * \frac{0.58}{3.375} = -78.9568 * 0.17185 = -13.57.$$ 6. **Fehlerfortpflanzung nach Gauß:** $$\Delta g = \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial L} \Delta L\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial T} \Delta T\right)^2} = \sqrt{(17.546 * 0.01)^2 + (-13.57 * 0.2)^2} = \sqrt{0.0308 + 7.36} = \sqrt{7.3908} = 2.72.$$ Auf eine signifikante Stelle gerundet: $$\Delta g \approx 3\ \mathrm{m/s^2}.$$ **Endergebnis:** $$g = (10.18 \pm 3)\ \mathrm{m/s^2}.$$