1. **Problemstellung:** Eine Masse $m$ rutscht auf einer schiefen Ebene, die an einen Wagen mit Masse $M$ befestigt ist. Gesucht sind die $x$- und $y$-Komponenten der Schwerpunktsgeschwindigkeit $\vec{v}_{SP}(t)$ des Systems, solange die Masse noch auf der Schräge rutscht. 2. **Gegebene Größen und Annahmen:** - Masse der schiefen Ebene (Wagen): $M$ - Masse auf der Schräge: $m$ - Winkel der Schräge zur Horizontalen: $\alpha$ - Anfangsgeschwindigkeit der Masse $m$ bei $t=0$ ist $0$ - Reibung wird vernachlässigt 3. **Wichtige Formeln:** - Schwerpunktgeschwindigkeit des Systems: $$\vec{v}_{SP} = \frac{m \vec{v}_m + M \vec{v}_M}{m + M}$$ - Die Geschwindigkeit der Masse $m$ auf der Schräge hat Komponenten: $$v_{m,x} = v_m \cos(\alpha), \quad v_{m,y} = -v_m \sin(\alpha)$$ (negativ in $y$, da die Masse nach unten rutscht) - Die Geschwindigkeit des Wagens $\vec{v}_M$ ist nur horizontal, da der Wagen auf der Ebene rollt: $$v_{M,y} = 0$$ 4. **Bewegung der Masse $m$ auf der Schräge:** Die Beschleunigung der Masse entlang der Schräge ist: $$a = g \sin(\alpha)$$ Da die Masse aus der Ruhe startet, gilt: $$v_m(t) = a t = g \sin(\alpha) t$$ 5. **Bewegung des Wagens:** Da keine äußeren horizontalen Kräfte wirken, bewegt sich der Schwerpunkt des Systems nicht horizontal. Also gilt Impulserhaltung: $$ (m + M) v_{SP,x} = m v_{m,x} + M v_{M,x} = 0 $$ Daraus folgt: $$v_{M,x} = -\frac{m}{M} v_{m,x} = -\frac{m}{M} v_m \cos(\alpha)$$ 6. **Berechnung der Schwerpunktgeschwindigkeit:** - $x$-Komponente: $$v_{SP,x} = \frac{m v_{m,x} + M v_{M,x}}{m + M} = \frac{m v_m \cos(\alpha) - m v_m \cos(\alpha)}{m + M} = 0$$ - $y$-Komponente: $$v_{SP,y} = \frac{m v_{m,y} + M \cdot 0}{m + M} = \frac{m (-v_m \sin(\alpha))}{m + M} = -\frac{m}{m + M} g \sin(\alpha) t \sin(\alpha) = -\frac{m}{m + M} g t \sin^2(\alpha)$$ 7. **Endergebnis:** $$\boxed{\vec{v}_{SP}(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{m}{m + M} g t \sin^2(\alpha) \end{pmatrix}}$$ Die $x$-Komponente der Schwerpunktsgeschwindigkeit ist null, die $y$-Komponente ist negativ und proportional zur Zeit $t$.