1. **Problem statement:** Berechne die Wandstärke einer Hohlkugel aus Kupfer mit Außendurchmesser 24,0 cm und Masse 9,124 kg. 2. **Gegebene Daten:** - Dichte Kupfer $\rho = 8{,}93\ \mathrm{g/cm^3}$ - Außendurchmesser $D_a = 24{,}0\ \mathrm{cm}$ - Masse $m = 9{,}124\ \mathrm{kg} = 9124\ \mathrm{g}$ 3. **Gesucht:** Wandstärke $t$ der Hohlkugel. 4. **Formeln und wichtige Regeln:** - Volumen einer Kugel: $$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ - Masse $m = \rho \cdot V_{Material}$ - Volumen des Kupfermaterials ist Differenz zwischen Außen- und Innenvolumen: $$V_{Material} = V_{außen} - V_{innen} = \frac{4}{3} \pi r_a^3 - \frac{4}{3} \pi r_i^3 = \frac{4}{3} \pi (r_a^3 - r_i^3)$$ - Wandstärke $t = r_a - r_i$ 5. **Berechnung:** - Außenradius: $$r_a = \frac{D_a}{2} = \frac{24{,}0}{2} = 12{,}0\ \mathrm{cm}$$ - Masse in Gramm: $$m = 9124\ \mathrm{g}$$ - Volumen des Kupfermaterials: $$V_{Material} = \frac{m}{\rho} = \frac{9124}{8{,}93} \approx 1021{,}6\ \mathrm{cm^3}$$ 6. **Aufstellen der Gleichung:** $$\frac{4}{3} \pi (r_a^3 - r_i^3) = 1021{,}6$$ 7. **Umstellen nach $r_i^3$:** $$r_a^3 - r_i^3 = \frac{3}{4\pi} \times 1021{,}6$$ $$r_i^3 = r_a^3 - \frac{3}{4\pi} \times 1021{,}6$$ 8. **Einsetzen von $r_a = 12{,}0$ cm:** $$r_a^3 = 12^3 = 1728$$ $$r_i^3 = 1728 - \frac{3}{4\pi} \times 1021{,}6$$ 9. **Berechnung des Terms:** $$\frac{3}{4\pi} \times 1021{,}6 = \frac{3 \times 1021{,}6}{4 \times 3{,}1416} \approx \frac{3064{,}8}{12{,}566} \approx 243{,}8$$ 10. **Innenradius:** $$r_i^3 = 1728 - 243{,}8 = 1484{,}2$$ $$r_i = \sqrt[3]{1484{,}2} \approx 11{,}3\ \mathrm{cm}$$ 11. **Wandstärke:** $$t = r_a - r_i = 12{,}0 - 11{,}3 = 0{,}7\ \mathrm{cm}$$ **Antwort:** Die Wandstärke der Kupfer-Hohlkugel beträgt etwa **0,7 cm**.