1. **Énoncé du problème :** Déterminer la force $ \overrightarrow{F}_{A \text{ sur } B} $ exercée par la bille A sur la bille B. 2. **Formule utilisée :** La force électrique entre deux charges ponctuelles est donnée par la loi de Coulomb : $$\overrightarrow{F} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$$ avec $k_e = 8{,}99 \times 10^9 \; \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$, $q_1, q_2$ les charges, $r$ la distance entre elles, et $\hat{r}$ le vecteur unitaire de la force. 3. **Données importantes :** - Distance entre A et B : $r = 0{,}30\,m$ - Angle des cordes avec la verticale : $\theta_A = 20^\circ$, $\theta_B = 40^\circ$ - Masse de A : $m_A = 50\,g = 0{,}050\,kg$ - Charge de A : $q_A = 1 \times 10^{-6}\,C$ - Masse et charge de B inconnues : $m_B, q_B$ 4. **Analyse des forces sur chaque bille :** - Chaque bille est en équilibre statique. - Forces sur A : tension $T_A$, poids $m_A g$, force électrique $\overrightarrow{F}_{B \text{ sur } A}$. - Forces sur B : tension $T_B$, poids $m_B g$, force électrique $\overrightarrow{F}_{A \text{ sur } B}$. 5. **Décomposition des forces :** - Pour A, la tension fait un angle de 20° avec la verticale. - Pour B, la tension fait un angle de 40° avec la verticale. 6. **Équilibre vertical (A) :** $$T_A \cos 20^\circ = m_A g$$ 7. **Équilibre horizontal (A) :** $$T_A \sin 20^\circ = F_{B \text{ sur } A}$$ 8. **Équilibre vertical (B) :** $$T_B \cos 40^\circ = m_B g$$ 9. **Équilibre horizontal (B) :** $$T_B \sin 40^\circ = F_{A \text{ sur } B}$$ 10. **Action-réaction :** $$F_{A \text{ sur } B} = F_{B \text{ sur } A} = F$$ 11. **Relation entre $T_A$ et $F$ :** De (6) et (7) : $$F = T_A \sin 20^\circ = \frac{m_A g}{\cos 20^\circ} \sin 20^\circ = m_A g \tan 20^\circ$$ 12. **Relation entre $T_B$ et $F$ :** De (8) et (9) : $$F = T_B \sin 40^\circ = \frac{m_B g}{\cos 40^\circ} \sin 40^\circ = m_B g \tan 40^\circ$$ 13. **Égalité des forces électriques :** $$m_A g \tan 20^\circ = m_B g \tan 40^\circ \Rightarrow m_B = m_A \frac{\tan 20^\circ}{\tan 40^\circ}$$ Calcul numérique : $$\tan 20^\circ \approx 0{,}3640, \quad \tan 40^\circ \approx 0{,}8391$$ $$m_B = 0{,}050 \times \frac{0{,}3640}{0{,}8391} \approx 0{,}0217\,kg = 21{,}7\,g$$ 14. **Calcul de la force électrique $F$ :** $$F = m_A g \tan 20^\circ = 0{,}050 \times 9{,}81 \times 0{,}3640 \approx 0{,}179\,N$$ 15. **Calcul de la charge $q_B$ :** La force électrique est aussi donnée par la loi de Coulomb : $$F = k_e \frac{q_A q_B}{r^2} \Rightarrow q_B = \frac{F r^2}{k_e q_A}$$ Calcul numérique : $$r = 0{,}30\,m, \quad k_e = 8{,}99 \times 10^9, \quad q_A = 1 \times 10^{-6}$$ $$q_B = \frac{0{,}179 \times (0{,}30)^2}{8{,}99 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{0{,}179 \times 0{,}09}{8{,}99 \times 10^3} \approx \frac{0{,}01611}{8990} \approx 1{,}79 \times 10^{-6} C = 1{,}79 \, \mu C$$ **Réponse finale :** - Masse de B : $21{,}7\,g$ - Charge de B : $1{,}79\,\mu C$