1. **Énoncé du problème :** On considère un milieu de constante diélectrique relative $\varepsilon_r = 100$ avec trois charges $Q_1 = -4 \times 10^{-9}$ C en $A(2,5)$, $Q_2 = 2 \times 10^{-9}$ C en $B(2,1)$, et $Q_3 = 2 \times 10^{-9}$ C en $C(6,1)$ (axes en cm). 2. **Formule du champ électrique créé par une charge ponctuelle :** Le champ électrique créé par une charge $Q$ en un point $M$ est donné par $$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \frac{Q}{r^2} \hat{r}$$ avec $r$ la distance entre la charge et le point $M$, $\hat{r}$ le vecteur unitaire dirigé de la charge vers $M$, et $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m la permittivité du vide. 3. **Calcul du champ électrique $\overrightarrow{E_B}$ au point $B$ dû à $Q_1$ et $Q_3$ :** - Coordonnées (en mètres) : - $A(0.02, 0.05)$ - $B(0.02, 0.01)$ - $C(0.06, 0.01)$ - Distance $r_{1B} = |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(0.02-0.02)^2 + (0.01-0.05)^2} = 0.04$ m - Distance $r_{3B} = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(0.06-0.02)^2 + (0.01-0.01)^2} = 0.04$ m - Vecteurs unitaires : - $\hat{r}_{1B} = \frac{\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}}{r_{1B}} = \frac{(0, -0.04)}{0.04} = (0, -1)$ - $\hat{r}_{3B} = \frac{\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{r_{3B}} = \frac{(-0.04, 0)}{0.04} = (-1, 0)$ - Constante $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{9 \times 10^9}{100} = 9 \times 10^7$ N·m²/C² - Calcul des champs : - $\overrightarrow{E}_{1B} = k \frac{Q_1}{r_{1B}^2} \hat{r}_{1B} = 9 \times 10^7 \times \frac{-4 \times 10^{-9}}{(0.04)^2} (0, -1)$ - $\overrightarrow{E}_{3B} = k \frac{Q_3}{r_{3B}^2} \hat{r}_{3B} = 9 \times 10^7 \times \frac{2 \times 10^{-9}}{(0.04)^2} (-1, 0)$ - Calcul numérique : - $\frac{Q_1}{r_{1B}^2} = \frac{-4 \times 10^{-9}}{0.0016} = -2.5 \times 10^{-6}$ - $\overrightarrow{E}_{1B} = 9 \times 10^7 \times (-2.5 \times 10^{-6}) (0, -1) = (-0, -225)$ V/m - $\frac{Q_3}{r_{3B}^2} = \frac{2 \times 10^{-9}}{0.0016} = 1.25 \times 10^{-6}$ - $\overrightarrow{E}_{3B} = 9 \times 10^7 \times 1.25 \times 10^{-6} (-1, 0) = (-112.5, 0)$ V/m - Champ total au point B : $$\overrightarrow{E_B} = \overrightarrow{E}_{1B} + \overrightarrow{E}_{3B} = (-112.5, -225) \text{ V/m}$$ 4. **Interprétation :** Le champ électrique au point B est dirigé vers la gauche et vers le bas, avec une intensité résultante calculée par $$|\overrightarrow{E_B}| = \sqrt{(-112.5)^2 + (-225)^2} = 251.6 \text{ V/m}$$ 5. **Résumé :** - Le champ électrique au point B dû à $Q_1$ et $Q_3$ est $\overrightarrow{E_B} = (-112.5, -225)$ V/m. - Les vecteurs sont exprimés dans la base $(\hat{i}, \hat{j})$ correspondant aux axes $x$ et $y$.