1. **Énoncé du problème :** Un client souhaite savoir si un chauffe-eau thermodynamique peut chauffer l'eau jusqu'à 58°C en moins de 8 heures (480 minutes) pendant les mois les plus frais. 2. **Méthode rapide :** On modélise la température $y$ en fonction du temps $x$ en minutes par une droite d'ajustement $y = ax + b$ ou une fonction quadratique $f(x)$. 3. **Données et ajustement linéaire :** La droite d'ajustement donnée est $y = 0,1132x + 6,8091$. 4. **Calcul du temps pour atteindre 58°C avec la droite :** $$58 = 0,1132x + 6,8091$$ $$0,1132x = 58 - 6,8091 = 51,1909$$ $$x = \frac{51,1909}{0,1132} \approx 452,3 \text{ minutes}$$ Ce temps est inférieur à 480 minutes, donc la droite d'ajustement indique que le cahier des charges est respecté. 5. **Fonction quadratique constructeur :** $$f(x) = 0,0006x^2 - 0,0102x + 10,612$$ 6. **Dérivée de $f$ :** $$f'(x) = 2 \times 0,0006 x - 0,0102 = 0,0012x - 0,0102$$ 7. **Étude du signe de $f'$ :** Résolvons $f'(x) = 0$ : $$0,0012x - 0,0102 = 0 \Rightarrow x = \frac{0,0102}{0,0012} = 8,5$$ Pour $x < 8,5$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. Pour $x > 8,5$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. 8. **Valeur minimale de $f$ :** $$f(8,5) = 0,0006 \times 8,5^2 - 0,0102 \times 8,5 + 10,612 = 0,0006 \times 72,25 - 0,0867 + 10,612 = 0,04335 - 0,0867 + 10,612 = 10,56865$$ La température minimale est environ 10,57°C au bout de 8,5 minutes. 9. **Résolution pour $f(x) = 58$ :** $$0,0006x^2 - 0,0102x + 10,612 = 58$$ $$0,0006x^2 - 0,0102x - 47,388 = 0$$ Utilisons la formule quadratique : $$x = \frac{0,0102 \pm \sqrt{(-0,0102)^2 - 4 \times 0,0006 \times (-47,388)}}{2 \times 0,0006}$$ $$= \frac{0,0102 \pm \sqrt{0,00010404 + 0,1137}}{0,0012} = \frac{0,0102 \pm \sqrt{0,11380404}}{0,0012}$$ $$= \frac{0,0102 \pm 0,3373}{0,0012}$$ Solutions : $$x_1 = \frac{0,0102 - 0,3373}{0,0012} = -272,6 \text{ (non valide)}$$ $$x_2 = \frac{0,0102 + 0,3373}{0,0012} = 290,4$$ 10. **Conclusion sur le cahier des charges :** Le temps pour atteindre 58°C est environ 290,4 minutes (4h50), ce qui est inférieur à 480 minutes (8h). Le cahier des charges est donc respecté. 11. **État de l'eau à 60°C :** L'eau est liquide entre 0°C et 100°C à pression atmosphérique. À 60°C, l'eau est donc à l'état liquide. 12. **Résumé :** - La droite d'ajustement linéaire prédit un temps de chauffe inférieur à 8h. - La fonction quadratique confirme ce résultat avec un temps encore plus court. - La température minimale est atteinte rapidement. - L'eau reste liquide à 60°C.