1. Énoncé du problème : Calculer la divergence et le rotationnel d'un champ donné, puis en déduire les composantes du champ magnétique $B$, calculer la divergence et le rotationnel de $B$, et enfin déterminer la relation entre $\alpha$ et $\beta$ pour satisfaire les équations de Maxwell. 2. Formules importantes : - La divergence d'un champ vectoriel $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$ est donnée par $$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$ - Le rotationnel (ou curl) est donné par $$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$ - Les équations de Maxwell dans le vide impliquent que $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$ 3. Calcul de la divergence et du rotationnel du champ initial (supposons $\mathbf{E}$ donné, car non précisé) : - Calculer $\nabla \cdot \mathbf{E}$ en appliquant la formule ci-dessus. - Calculer $\nabla \times \mathbf{E}$ de même. 4. Déduire les composantes du champ magnétique $\mathbf{B}$ : - Utiliser la relation de Maxwell-Faraday $$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$ - Intégrer ou exprimer $\mathbf{B}$ en fonction de $\mathbf{E}$ et ses dérivées temporelles. 5. Calculer la divergence et le rotationnel de $\mathbf{B}$ : - Appliquer les formules de divergence et rotationnel à $\mathbf{B}$. 6. Relation entre $\alpha$ et $\beta$ : - Pour que les équations de Maxwell soient satisfaites, notamment $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ et $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$, on doit imposer une relation entre $\alpha$ et $\beta$. - Cette relation est généralement $$\alpha = \beta$$ ou une relation proportionnelle selon les constantes physiques. Sans expressions explicites des champs, la réponse est formelle. Finalement, la réponse dépend des expressions précises des champs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$, mais les étapes ci-dessus montrent comment procéder.