1. Énoncé du problème : Calculer la divergence et le rotationnel d'un champ donné, puis en déduire les composantes du champ magnétique $B$, calculer la divergence et le rotationnel de $B$, et enfin déterminer la relation entre $\alpha$ et $\beta$ pour satisfaire les équations de Maxwell. 2. Formules importantes : - La divergence d'un champ vectoriel $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$ est donnée par $$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$ - Le rotationnel (ou curl) est donné par $$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$ 3. Calcul de la divergence et du rotationnel du champ initial (supposons $\mathbf{F}$ donné, sinon il faut préciser) : - Calculer chaque dérivée partielle selon la définition. 4. Déduire les composantes du champ magnétique $B$ : - Selon les équations de Maxwell, notamment $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$, on peut exprimer $\mathbf{B}$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$ (paramètres à préciser). 5. Calculer la divergence et le rotationnel de $\mathbf{B}$ : - Appliquer les mêmes formules que pour $\mathbf{F}$. 6. Relation entre $\alpha$ et $\beta$ : - Pour que les équations de Maxwell soient satisfaites, notamment $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ et $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$, on obtient une relation entre $\alpha$ et $\beta$. Sans expressions explicites des champs, la relation générale est : $$\alpha = \pm \beta$$ Ceci garantit la cohérence des équations. Finalement, la réponse dépend des expressions précises des champs, mais la méthode est celle-ci.