1. **Énoncé du problème :** Calculer la variation de l'énergie potentielle de pesanteur de la bille de masse $m=57$ g lors de ses déplacements entre les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ situés respectivement aux hauteurs $z_1=0{,}20$ m, $z_2=40$ m, et $z_3=30$ m. 2. **Formule utilisée :** L'énergie potentielle de pesanteur est donnée par $$E_p = m g z$$ où $m$ est la masse en kg, $g$ l'accélération due à la pesanteur ($9{,}8$ m/s$^2$), et $z$ la hauteur en mètres. 3. **Conversion de la masse :** $m = 57$ g $= 0{,}057$ kg. 4. **Calcul de la variation d'énergie potentielle entre $M_1$ et $M_2$ :** $$\Delta E_{p,1\to 2} = m g (z_2 - z_1) = 0{,}057 \times 9{,}8 \times (40 - 0{,}20) = 0{,}057 \times 9{,}8 \times 39{,}8$$ Calculons : $$0{,}057 \times 9{,}8 = 0{,}5586$$ $$0{,}5586 \times 39{,}8 = 22{,}23 \text{ J}$$ 5. **Calcul de la variation d'énergie potentielle entre $M_2$ et $M_3$ :** $$\Delta E_{p,2\to 3} = m g (z_3 - z_2) = 0{,}057 \times 9{,}8 \times (30 - 40) = 0{,}057 \times 9{,}8 \times (-10)$$ Calculons : $$0{,}057 \times 9{,}8 = 0{,}5586$$ $$0{,}5586 \times (-10) = -5{,}586 \text{ J}$$ 6. **Choix de la référence :** On choisit la position $M_1$ comme référence, donc $E_p(M_1) = 0$ J. 7. **Calcul de l'énergie potentielle en $M_2$ :** $$E_p(M_2) = m g (z_2 - z_1) = 22{,}23 \text{ J}$$ 8. **Calcul de l'énergie potentielle en $M_1$ :** $$E_p(M_1) = 0 \text{ J}$$ **Réponses finales :** - Variation d'énergie potentielle $M_1$ à $M_2$ : $22{,}23$ J - Variation d'énergie potentielle $M_2$ à $M_3$ : $-5{,}59$ J - Énergie potentielle en $M_1$ (référence) : $0$ J - Énergie potentielle en $M_2$ : $22{,}23$ J